微分中值定理及其应用习题课
一 基本定理
1）．罗尔中值定理
若函数f满足如下条件： （ⅰ）f在闭区间?a,b?上连续； （ⅱ）f在开区间?a,b?内可导； （ⅲ）f(a)?f(b),
则在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0
注 罗尔中值定理主要用于说明f??x??0有根，关键是要找两点使这两点函数值相等．
注 介值定理主要用于说明f?x??0有根，关键是要找两点使这两点函数值异号．
（1） 证f?x??0有根
???法1 用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）.? ?法2 将f?x??0转化为f?x??g??x??0,对g?x?用罗尔定理?? ?若很容易求出g?x?，使f?x??g??x?，且对g?x?很容易????找两点使函数值相等.???????法1 费马定理（易找极值点或内部最值点）,（2）证f??x??0有根?
法2 罗尔定理易找两点使函数值相等.????（3）证根唯一的方法?（4）证f?n? ?法1 单调性,?法2 反证法+罗尔定理.
?x??0有根，经常对f?n?1??x?用罗尔定理．
（5）证至少存在一点?，使含?的代数式
1
Ga,b,f?a?,f?b?,?,f???,f?????f?n?????0成立的常用方法是构造辅助函数，
然后对辅助函数用罗尔定理．
2）．拉格朗日中值定理
若函数f满足如下条件： （ⅰ）f在闭区间[a,b]上连续； （ⅱ）f在开区间?a,b?内可导， 则在（a,b）内至少存在一点?，使得
??f?(?)?f(b)?f(a)．
b?a注 看到函数增量，或隐含增量（含条件f?a??0），经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，经常要考虑拉格朗日中值定理． 3）．柯西中值定理
设函数f和g满足 （i）在[a,b]上都连续； (ii)在(a,b)上都可导；
(iii)f?(x)和g?(x)不同时为零； (iv)g(a)?g(b) 则存在??(a,b)，使得
f?(?)f(b)?f(a)? ． g?(?)g(b)?g(a)注 看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理． 4）．泰勒中值定理
若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有
2
f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?o?(x?x0)n?2!n!．
若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)内存在(n?1)阶导函数，则对任意给定的x,x0?[a,b]，至少存在一点??(a,b)，使得
f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f??(x0)(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)f(n?1)(?)n ?(x?x0)?(x?x0)n?1 ．
n!(n?1)!注 看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理．
注 对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀
一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒； 中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱； 函数增量想拉柯，易积结论用阿罗； 多个中值多次用，把握特征心自得．
二 疑难解答
1．极值与最值有什么区别与联系？
答1）极值是一个局部概念,因为f(x0)是函数f(x)的极值,是与x0的某邻域
U?x0?上的函数值f(x)比较而言的；而最值是对整个区间而言的,是一个整体概
念．
2）闭区间?a,b?上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值（常函数除外）,但可能无极值（因为极值点x0必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取）．即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值．因此若f?a?(是函数的最值,则f?a?不可能是极值;若f(x0)（x0?(a,b)）是函数的最值,则一定是极值．即（最值不一定是极值，反之,极值也不一定是最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即为最值）．
3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最
3
小值点是极小值点．
2．极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？
答：1）由费马定理可知,可导的极值点是稳定点．
2）稳定点未必是极值点．例如f(x)?x3，x?0为它的稳定点（因为，但由f(x)?x3的图像和极值点的定义易知x?0不是f(x)?x3的极f?(0)?0）值点．
3）导数不存在的点也可能是函数的极值点．例如由f(x)?x的图像和极值的定义易知f(x)?x在x?0取得极小值，但在x?0不可导，即极值点未必是稳定点．
极值点有可能是稳定点和不可导的点． 3．导函数的介值定理有什么作用？
答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数．
4. 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？
答 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立．例如
函数f(x)???x,0?x?1,在[0,1]上不满足罗尔中值定理的条件(1)，因为
x?1,?0,f(x)在点x?1处不连续．由于f?(x)?1,x?(0,1)，所以在开区间(0,1)内找不到
使得等式f?(?)?0成立的点?，如图，无水平切线(图1)；
函数g(x)?x,x?[?1,1]，g(x)在[?1,1]上不满足罗尔中值定理的条件(2)，因为g(x)在点x?0处不可导．由于g?(x)???1,0?x?1,所以在开区间(?1,1)内找不
?1,?1?x?0,?到使得等式g?(?)?0成立的点?，如图，无水平切线(图2)．
函数h(x)?x,x?[0,1]．h(x)在[0,1]上不满足罗尔中值定理的条件(3)，因为
h(x)在区间端点的函数值不相等，即h(0)?h(1)．由于h?(x)?1,x?(0,1)，所以
4
在开区间(0,1)内找不到使得等式h?(?)?0成立的点?，如图，无水平切线(图3)．
尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件．例如，函数
?0,x?[0,1) f(x)???x,x?[1,2],??0?在?0,2?不连续，在?0,2?不可导，f?0??f?2?，但f(x)????1,上点都满足f?(x)?0．
5.为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为f(x)在?a,b?上可导？
答 可以，但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数．例如函数
x?01,??，?0,1?x??1,2?f(x)?(3?x)x, x?[0,3]，f?(x)?31(?x)，显然x?0时，函数不可导（f(x)?(3?x)x是初等函2x数，f?(x)?3(1?x)在x?0处没有定义，则原函数在x?0不可导）
，即不符合加
2xy 强条件；但它满足定理的三个条件，有水平切线(图)
6.罗尔定理结论中的?值唯一吗？
y=f (x) 0 3 x 答 不一定唯一,可能有一个,几个，甚至无限多个．
例如
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