1?4?xsin2,x?0;f(x)??在??1,1?上满足罗尔定理的三个条件．显然, x?0,x?0.?111?3?4xsin2?2x2sincos,x?0f?(x)??在(-1,1)内存在无限多xxx?0,x?0.?个cn?1(n??1,?2,?),使得f?(cn)?0． 2n?7．拉格朗日公式有哪些等价表示形式？
答 ①f(b)?f(a)?f?(?)(b?a),a???b； 注 a???b?0???a?b?a?0???ab?a?1，令????ab?a，则有
0???1，
??a??(b?a)，于是有
②f(b)?f(a)?f?(a??(b?a))(b?a),0???1； 令h?b?a，则有
③f(a?h)?f(a)?f?(a??h)h,0???1. 注 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于a?b，还是a?b都成立，而?则是介于a与b之间的某一定数
8． 试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？
答：（1）在应用导数极限定理时，如果只注意limf?(x)存在的条件，而忽视
x?x0了f在点x0的某邻域U(x0)内连续，则会导致错误的结论，例如
?x,x?0 f(x)???1,x?0f(x)在u0(0)中可导，且f?(x)?1，于是有limf?(x)，若认为f?(0)存在，
x?0且f?(0)?1，这就导致错误结论，事实上，因为f(x)在点0处不连续，当然不可
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导．
（2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似．
?1）设f在点x0的右邻域U?(x0)内连续，在U?(x0)内可导，且极限
x?x0?limf?(x)?f??x0?0?存在，则f在点x0右可导，且
f???x0??lim?f?(x)?f??x0?0?．
x?x0?2）设f在点x0的左邻域U?(x0)内连续，在U?(x0)内可导，且极限
x?x0?limf?(x)?f??x0?0?存在，则f在点x0左可导，且
f???x0??lim?f?(x)?f??x0?0?．
x?x0（3）若函数f在点x0的某邻域U(x0)内连续，在U?(x0)内可导，极限
x?x0limf?(x)不存在，一般不能得到f??x0?不存在的结论．
1?2xsin,x?0,??例 设函数f?x??? 则f?x?在U?0?中连续，且在U?0?内x?? 0, x?0.可导，
f??x??2xsinx?011?cos,x?0. xxx?x0显然limf??x?不存在，但f??0??0．此例说明：导数极限定理中的limf??x?存在是充分条件不是必要条件．
9. 若函数f在区间I上可导，则在区间I上的每一点， f?(x)有第一类间断点吗？
答 若函数f在区间I上可导，则在区间I上的每一点，要么是f?(x)的连续点,要么是f?(x)的第二类间断点,即导函数不可能有第一类间断点．
?x0?I，由f在区间I上可导，则f在点x0处的左右导数存在，并且相等，
即
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f???x0??f???x0??f??x0?，由此（1）若f?(x)在点x0处的左右极限存在，则根据
导数极限定理，
f?(x)在点x0处的左右极限相等，即
从而f?(x)在点x0处连续；（2）若f?(x)在点x0f??x0?0??f??x0?0??f??x0?，
处的左右极限至少有一个不存在，则x0是f?(x)的第二类间断点．
10．1）f?x?在?a,b?上有定义,在?a,b?内严格递增（减）,那么f?x?在?a,b?上是否一定严格递增（减）呢？
2）若f在?a,b?上（严格）递增（减），且在点a右连续，则f在[a,b）上亦为（严格）递增（减），对右端点b可类似讨论．
答： 1）不一定．例函数f?x???递增，但在?0,1?上不是严格递增的．
2）只需证明x?a，f?x??f?a?，这时存在x1,x2??a,b?，满足
?x,0?x?1在?0,1?有定义，在?0,1?内严格
?1,x?0a?x1?x2?x，由f在?a,b?中的（严格）递增性有f?x1??f?x2??f?x?，令
x1?a?，由f在点a的右连续性，f?a??lim?f?x1??f?x2??f?x?，于是
x1?af?a??f?x?．
注 （1）证f在?a,b?上严格递增的方法是证f??x??0,?x?(a,b)，或
f??x??0，?x?(a,b)，而f??x??0的点只有有限个．
（2）证f在?a,b?上严格递增，只要证f在?a,b?上连续，在?a,b?上严
格递增．
11．函数在区间I上可微，若f??x??0与f在I上严格递增有什么关系？ 答 函数在区间I上可微，若f??x??0 f在I上严格递增．
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反例：f?x??x3在R上严格递增，但f??x??3x2，f??0??0，导数可为0． 注 若函数f在?a,b?内可导，则f在?a,b?内严格递增（递减）的充要条件是： （ⅰ）对一切x?(a,b)，有f??x??0（f??x??0）； （ⅱ）在?a,b?内的任何子区间上f??x??0．
12．下面是利用拉格朗日中值定理推导柯西中值定理的方法，正确吗？ 由函数f和g在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对f和g分别用拉格朗日中值定理得
f(b)?f(a)f????(b?a)f????． ????g(b)?g(a)g???(b?a)g???答：不正确，错在对f和g分别用拉格朗日中值定理时得到的中值点不一定相同，即应该是
f(b)?f(a)f???1?(b?a)f???1?． ??g(b)?g(a)g???2?(b?a)g???2?而柯西中值定理的
f?(?)f(b)?f(a)?中两个?是一样的． g?(?)g(b)?g(a)13． 试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有什么特点？
答（1）罗辑推理关系：罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，又推得另两个中植定理，即：
费马定理?罗尔中值定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理
（2）由证明方法看：由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数
f(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a);
b?a由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数
F(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(g(x)?g(a))
g(b)?g(a)9
反之，在柯西中值定理设g(x)?x，就得到拉格朗日中值定理；进一步更设
f(a)?f(b)，又得到罗尔中值定理，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外
两个中值定理都是它的特殊情形．
（3）从应用方面看：
（ⅰ）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在讨论方程f?(x)?0的根的分布情况也有重要作用．
（ⅱ）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用．函数的单调性是函数在区间上的整体性质，中值定理中的f?(?)只是f?(x)在某点?的局部性质，但因中值点?的不明确性，故只能假设在整个区间?a,b?内
f?(x)?0，并用以推得f(x)在?a,b?上的递增性质．这里存在着整体→局部→整体
的辩证关系，也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在．
（ⅲ）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数f的增量与自变量增量比的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数f与g的增量比的性质．
柯西定理的典型应用是讨论
0型不定式极限．在补充了f与g在点x0处的函0数值f(x0)?g(x0)?0之后，利用
f(x)f(x)?f(x0)f?(?)（?介于x0与x之间） ??g(x)g(x)?g(x0)g?(?)使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替代函数值之比的极限．
14．f??x0??0能说明f在x0的邻域上递增吗？ 答 不能，例函数
1?x2?xsin,?2x f(x)???0,?x?0,
x?0,10