f?????2泰勒公式是f?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?．
2!用泰勒公式的关键是x,x0如何取，而需证等式中出现二阶导数f''(?)与f(x)在a,b，
a?ba?b的函数值，合理的方法是取x0?，x为a和b． 22a?b注：题目中如果出现(b?a)2，往往要令x0?．
2证 在泰勒公式f?x??f?x0??f??x0??x?x??0f??????x?x2!?02中取
x0?a?b，x分别为a和b得 2f??(?2)b?a2a?b?a?b?'?a?b?b?af(b)?f??f?(),??1?b, ???2!22?2??2?2f??(?2)a?b2a?b?a?b?'?a?b?a?bf(a)?f??f?(),a???, 2???2222!22????把上面两式相加,得
a?bf''(?1)?f''(?2)(b?a)2f(b)?2f()?f(a)??.
224不妨设f(?1)?f(?2),于是有
''''f''(?1)?f''(?2)f(?1)??f''(?2).
2''在???1,?2??上对f(x)应用达布定理,?????2,?1?使得
''f''(?1)?f''(?2)f(?)?,
2''这样就证得
a?b(b?a)2''f(b)?2f()?f(a)?f(?).
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12. 证下列不等式： 1）
b?abb?a，其中0?a?b； ?ln?baax3??? 2）sinx?x?，x??0,?；
6?2?3）
tanxx???， x??0,?． ?xsinx?2?证1）因为f(x)?lnx在?a,b?连续，在(a,b)内可导， 所以由拉格朗日中值定
理知， 存在??(a,b)使得 lnbb?a?lnb?lna?， a?因为 0?a???b， 所以
111??， b?ab?ab?ab?a ??b?a于是 从而
b?abb?a． ?ln?aa bx3 2） 令F(x)?sinx?x?，
6x2则F?(x)?cosx?1?，（此时F?(x)的符号不易判定）
2???F??(x)??sinx?x?0，（由于x??0,?时有sinx?x?tanx）
?2?则F?(x)在?0,?????上严格递增，于是F?(x)?F?(0)?0， 2?27
从而F(x)在?0,?????上严格递增，于是F(x)?F(0)?0， 2?x3???即sinx?x?，x??0,?．
6?2?3）分析：若直接令f?x??tanxx?，则求导比较复杂，需要转化，证xsinx???tanx?sinx?x2，x??0,?．
?2????证 原式等价于tanx?sinx?x2，x??0,?，
?2? 令f(x)?tanx?sinx?x2，则
f?(x)?sin（此时不易判断f??x?与0的大小关系） x(se2cx?1)?2x， f??(x)?3sec（此时不易判断f??x?与0的大小关系） x?cosx?2，
??? f???(x)?3tanxsecx?sinx?0,x??0,?．
?2????
故f??(x)在?0,?内严格递增．又f??(x)在x?0处连续且f??(0)?0，所以f??(x)?0，
?2???????x??0,?．从而f?(x)在?0,?内严格递增． 又f?(x)在x?0处连续，且?2??2???????f?(0)?0，所以f?(x)?0，x??0,?．于是f(x)在?0,?内严格递增， 且f(x)?2??2?
在x?0处连续， f(0)?0．所以
???f(x)?0,x??0,?．
?2?28
???即 tanx?sinx?x2，x??0,?．
?2?注 证f(x)?g(x)的步骤
（1）移项构造辅助函数（有时需要对辅助函数适当变形），使不等式一端为0，令一端即为辅助函数F(x)，常常令F(x)?f(x)?g(x)；
（2）求F?(x)，根据F?(x)的符号判断F(x)的单调性，（有时F?(x)的符号不易判定，需求F??(x)，由F??(x)的符号来确定F?(x)的单调性，再根据F?(x)的单调性来确定F?(x)的符号）；
(3)求出区间端点的函数值（或极限值），根据F(x)的单调性，得出证明． 13. 求下列不定式极限：
ex?11?2sinx (1)lim； (2)lim；
?x?0sinxcos3xx?6 (3)limln?1?x??xtanx?x； (4)lim；
x?0x?0cosx?1x?sinx? (5)limx?21?tanx?6?1； (6)lim??x?；
x?0xsecx?5e?1??sinx (7)lim?tanx?x?0； (8)limxx?111?x；
(9)lim1?xx?0?12x?sinxlnx； ； (10)lim?x?011??tanx?x2?1(11)lim?2???． ?； (12)lim2x?0x?0xxsinx????注 （口诀）先定型后定法，求解过程要四化（乘除中使用，加减不要用）----
1看到无穷小因子，等价化； 2看到无理因子，有理化； 3看到幂指函数因子u?x?v?x?，对数恒等式化u?x?v?x??ev?x?lnu?x?；
29
4看到非零极限因子（极限不为0的因子），代入化．
e?1xex?1ex?lim?1（利用等价无穷小代解 (1)lim= lim=1或 limx?0sinxx?0cosxx?0sinxx?0x换）
(2)lim6x?2cosx31?2sinx= lim=．
??3cos3xx??3sin3xx?61?1ln?1?x??x1x(3)lim=lim1?x ?lim(?)?1．
x?0x?0x?0?sinxcosx?11?xsinx1?1ln?1?x??xln?1?x??x1或lim?lim?lim1?x?lim?1． x?0x?0x?0x?01cosx?1?x1?x?x22sec2x?1tan2xx2tanx?x?lim?lim?2． (4)lim= limx?0x?sinxx?01?cosxx?01?cosxx?012x2sec2x1tanx?6 (5)lim= lim=lim?1．
?secxtanx?secx?5?sinxx?x?x?2221?ex?1?xex?1?xex?11?1(6)lim??x?lim?lim?． ?= limx2x?0xx?0x?0x?0x(e?1)x2x2e?1???tanx? (7)lim?x?0sinxe= lim?x?0sinxlntanx=ex?0?limsinxlntanx?e1x1x2x?0?limxlntanxx?0?lim?elntanx1x
?e (8)limxx?111?xsec2xlimtanxx?0??1x2lnx1?x?elim1limtanxx?0??1x2?ex?0??lim?1．
? limex?1?elnxx?11?x?elim?1x?1x?e?1．
?1或limxx?111?x?lim?1?x?1?x?111?x1???lim??1?x?1?x?1??e?1． x?1??30