(9)lim1?x?0?12xx?ln(1?x2)= limexx?0?eln1?x2x?0xlim??=ex?01?x?e0?1．
2lim2x或lim1?xx?0?12x?1?2x2??lim??1?x???e0?1． x?0??x1lnxx?0． (10) limsinxlnx?limxlnx?lim?lim????x?0x?0x?01x?01?2xxsin2x?x2sin2x?x21??1?lim(11) lim?2? ?= lim2242x?0x?0x?0xxsinxxsinx??2sinxcosx?2xsin2x?2x?limx?0x?04x34x3
2cos2x?2?4sin2x1?lim?lim??.2x?0x?012x24x3?lim1?sin2x?x2sin2x?x2?1或 lim?2? ?lim??lim24x?0xx?0x2sin2xx?0sinxx??sinx?x??sinx?x?? ?lim
x?0x3x?2limx?0?sinx?x??2limcosx?1??1．
x3x?03x23ln?tanx?x2x2lim?lime(12)??x?0x?0?x?11tanxx?ex?0x2lim1lntanxx
?e?e12x?0limlntanx?lnxx2xsecx?tanx2x32?esec2x1?limtanxxx?02x2?exsec2x?tanxxtanxlimx?02x2
x?0lim?ex?0limsecx?2xsecxsecxtanx?secx6x2?e13tanx?x 或 lim?x?0?tanx?x?tanx?x?x?lim??1??x?0xx????31
12??tanx?x??lim??1??x?0?x???xtanx?x????x3
?e 或
x?0limtanx?xx3?ex?0limsec2x?13x2?ex?0limtan2x3x2?e ．
13ln?tanx?x2x2lim?e??limx?0x?0x???11tanxx?ex?0x2lim1lntanxx?ex?0x2lim1?tanx?x?ln?1??x???ex?0limtanx?xx3?e．
0?或； 0?13注 1型不定式极限有两种求法：（1）用对数恒等式化为0??，再化为（2）利用公式lim(1??)?e ???01??配底 1?无穷小量?配顶 无穷小量的倒数求解．
14．求函数f(x)?sinx?cosx的极值（0?x?2?）． 解 f?(x)?cosx?sinx，f??(x)??sinx?cosx, 令 f?(x)?0，得驻点 x1??4,x2?5?． 4而 f??()??2?0，所以 f()?2为极大值．
445??又 f??()?2＞0，所以 f()??2为极小值．
44说明 此题为可导函数且在驻点处f??(x)?0，所以找出驻点后，用第二充分条件进
行判断方便．
???x2x,x?0,?15．已知函数f(x)??问x为何值时，f(x)取得极值．
?x?1,x?0,??2x2x(1?lnx),x?0解 f?(x)??，当x?0时，
x?0?1, f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)x?lim?1, x?0?xx?0?f(x)?f(0)x2x?12x2x(1?lnx)?lim f??(0)?lim?lim???，
x?0?x?0?x?0x?0x132
所以，当x?0时，f?(x)不存在．
令f?(x)?0，即2x2x(1?lnx)?0，得驻点x?11（,将可疑点x?0及x?按ee大小顺序排列，把函数的定义域（??,??）分成三个部分区间，讨论在各部分区间上一阶导数的符号．）
11时，f??x??0；当x?时，f??x??0 ee1故当x?0时，函数取得极大值f?0??1，当x?时函数取得极小值
e当x?0时，f??x??0；当0?x??1??1?f?????． ?e??e?由此可见，分段函数求极值的步骤与非分段函数求极值的步骤一样，关键是在分段点求导时，要用导数定义来求．若在分段点处的导数为0或不存在，则分段点为可疑点；若在分段点处导数存在，但不等于0，则分段点不是可疑点．
16． 设f?x???x?x0???x?，（n为自然数），其中??x?是连续函数，问当
n2e??x0??0时，f?x?在点x0处是否取得极值？为什么？
分析 题中只知道??x?连续，因而f?x?也是连续的，但不知f?x?是否可导，故不
能用导数等于零来求驻点，只能用函数的极值定义来进行判断．此外，题中还有自然数n，f?x?在x0点是否取极值与n有关． 解 由于在
??x?点x0处连续，且??x0??0，故存在??0．当
x??x0??,x0???时，
??x??0，此时，函数f?x?在该邻域内的符号完全由因子?x?x0?决定，而
n?x?x0?n的符号又与n的奇偶性有关．
（1）若n为偶数，当x?(x0??,x0??)且x?x0时 f(x)?0，而
f(x0)?0，
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所以f(x0)?0为极小值．
（2）若n为奇数，当x?(x0??,x0)时f(x)?0，当x?(x0,x0??）时
f(x)?0，
所以 f(x0)?0不是极值．
小结 求函数的极值的步骤为： 1、找出可疑点 可疑点包括：（1）驻点；（2）使一阶导数不存在的点（但函数在此点连续）；（3）函数在该点有定义，但不连续． 2、判断．对（1）、（2）两类可疑点，利用极值存在的第一或第二充分条件；对第（3）类可疑点，则利用极值定义． 3、求出极值． 17． 求函数f(x)?arcsin最小值．
2x?2arctanx在（??,??）上的最大值和21?x?4,2(1?x)12?2???解 f(x)?=?1?x21?x2?1?x21?x?0,2当x?1当x?1
当x??1时，f?(x)?0，f(x)为常值函数, 当?1?x?1时，f?(x)?0，f(x)单调增加, 当x?1时，f?(x)?0，f(x)为常值函数,
又因f(x)在（??,??）内连续，所以f(?1)???为最小值，f(1)??为
最大值．
?x18．求函数y?xe的连续区间、可导区间、单调区间、凹凸区间、极值点、
拐点和渐近线．
解 y?xe?x?x???xe,???x??xe,x?0x?0
y?limy?0，因为lim所以函数在x=0处连续，故连续区间为（??,??） ??x?0x?034
?x??e(x?1),x?0又 y????x
??e(1?x),x?0f(x)?f(0)?xe?x?(0)?lim?lim??1， 而 y??x?0?x?0x?0xf(x)?f(0)xe?x?(0)?lim?lim?1， y?x?0?x?0?x?0x函数在x?0处不可导，在(??,0)和（0,??）可导．
?x?x?0?e(2?x)y?????x
x?0?e(x?2)?令y??0，得x=1，令y???0，得x=2，列表如下：
x y? y?? y?f(x) 图形 （??,0） — + 0 不存在 不存在 极小 拐点 （0,1） + — 1 0 — （1,2） — — 2 — 0 （2,+?） — + 极大 拐点 故单调增区间为（0,1），单调减区间为（—?，0），（1，+?），凸区间为（0,2），凹区间为（—?，0），（2,+ ?）；极小值点为x?0，极大值点x?1，拐点为（0,0），（2，2e?2）．又limy?limxex???x????x?0,故y?0为水平渐近线．
19． 方程3x?4x?6x?12x?20?0有几个实根？ 解 令 f(x)?3x?4x?6x?12x?20，
则 f?(x)?12x?12x?12x?12?12(x?1)(x?1) 令 f?(x)?0得 x1??1,x2?1
当x?(??,?1)时，f?(x)?0，函数单调减小;
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322432432