概率论历年试卷分章节汇总
第一部分：随机事件与概率 1、 Cmn型 （1201）一．（本大题15分）
一个去掉大小王的扑克共52张牌，洗匀后从中随机抽牌。（Cmn型） （1）随机抽取6张, 求所抽的牌中含有红桃A的概率。
（2）随机抽取6张，求所抽的6张牌中含有红桃A、且至少含有一张K的概率。 （3）随机抽取n张,为使所抽的牌中至少有一个“对子”的概率大于1/2，试列出n应满足的条件。（列出算式即可。）
56556n1nn解答：（1）C51 （2）(C51 （3）1?C13(C4)/C52?1/2 /C52?C47)/C52（1101）一、（10分）一部五本头的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列
概率：（Cmn型）
（1）第一卷出现在旁边。 （2）第一卷及第五卷出现在旁边。 （3）第一卷或第五卷出现在旁边。 （4）第一卷及第五卷都不出现在旁边。 （5）第三卷正好在正中。
4!23!12217解：（1）p?2?? （2）p?2?? （3）p????
5!55!10551010734!1（4）p?1?? （5）p?1??
10105!5（1106）二、（Cmn型）(12分) 袋中有15个球，9个红球，6个黄球。不放回
地分两次从袋中将球逐个取出，第一次取5个球，第二次取6个球。求以
下事件的概率：
(1) 第二次6个球中的第5个是红球；
(2) 第一次5个球中有2个黄球且第二次6个球中有4个红球； (3) 第一次5个球中有3个红球或第二次6个球中有2个黄球
102解： (1) 设A：第二次6个球中的第5个是红球 P(A)??
153(2) 设A：第一次5个球中有2个黄球 B：第二次6个球中有4个红球
原问题转换为求P(AB)
1C52?C62?C4200??0.2 ①: Ω: C AB: C?C?C P(AB)?5C1510015152526143C52?C10C32?C74200???0.2 ②: P(AB)?P(A)?P(BA)?56C15C101001(3) 设A：第一次5个球中有3个红球 B：第二次6个球中有2个黄球
原问题转换为求P(A∪B)
343?C62?C9?C52?C10C52?C10??P(A)?,P(B)??565?C15C15?C15??P(AB)?
C?C?CC252651514
620?0.62 1001（1001）一、（10分）有位同学去某校宿舍楼A看望他老乡，此楼只有编号1～9的九个寝室，但他到学生宿舍楼下时忘记了老乡寝室号码。学校管理规定：要求访问者说出两个寝室号码，其中有一个正确就能进入，否则不能进入。问此同学能进入此大楼的概率？（Cmn型）
P(A∪B)= P(A)?P(B)?P(AB)=
11C1C2解：28?
9C9（0901）二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、
Q=12、K=13、A=14），（Cmn型） 求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；
（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率； （3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
解：（1）A＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝
P?A??4?(13?4)36?5（只要说明顺子的构成，分子40也算对） 5C52C52（2）A＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝
1312C13C4C12C4P?A?? 5C52（3）A＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝
13211C13C4C12C4C4P?A?? 5C52(0501) 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率（Cmn型） (1) 4个球全在一个盒子里;
(2) 恰有一个盒子有2个球. 6×5×4×3
．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故
P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分
(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有
12C5C4?30种方法----------------------------------------------------7分
4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法
因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故
P(B)?36072--------------------------------------------------10分 ?625125
2、 全概率公式、贝叶斯公式 （1201）二．（本大题12分）
一个盒子中装有红、黑两色共25个球，其中红球有13个。现甲先在暗处从盒中随机抽一个球a并收藏起来，然后让你从盒子中任抽两个球。（全概率公式、贝叶斯公式）
（1）求你抽出两个红球的概率。
（2）如果你现场随机抽到的两个球都是红球，求甲收藏的球a是红色的概率。如果让你猜测甲收藏的球a的颜色，为使猜中的可能性最大，你会猜甲收藏的球是什么颜色的？ 解答：分别记A、B为事件{甲抽出的是红球}、{乙抽出的两个都是红球}。 （1）
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)2213C1212C131312?111213?1213 ??2??2?????25C2425C242524?232524?2350（2）
P(A)P(B|A)P(B)
1312?1113111?????2524?2350232P(A|B)?故a的颜色为红色的概率比a的颜色为黑色的概率小，选择判 a为黑色。
（1101）二、 (12分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合
格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: （全概率分布和Cmn概率）
(1)乙箱中次品件数X的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 解 (1)X的可能值为0,1,2,3,所以X的概率分布为
3?kC3kC3P?X?k?? ?k?0,1,2,3? 3C6即
X 0 1 2 3 P
1991 20202020因此
19913?1??2??3?? 202020202 (2)设A?{从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有
EX?0?P?A???P?X?k?P?AX?k??k?0319192131?0??????? 202062062064（1101）七、（2学分）（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%
是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问
此人是男性的概率是多少？
（2学分）解 设A={抽到一名男性}；B={抽到一名女性}；C={抽到一名色盲患者}，由全概率公式得
11P(C)?P(C|A)P(A)?P(C|B)P(B)?5%??0.25%??2.625%
221P(AC)?P(A)P(C|A)??5%?2.5%
2由贝叶斯公式得 P(A|C)?P(AC)20 ?P(C)21（1106）四、（全概率公式、贝叶斯公式）(15分) 某种产品装在三个盒子中，
第1个盒子装有4个次品和5个正品，第2个盒子装有个2个次品和10个正品，第3个盒子装有6个次品和18个正品。扔一骰子以决定选盒，若出现点数为1，2，3，选第1个盒子；若出现点数为4，选第2个盒子；若出
现点数为5，6，则选第3个盒子；从选中的盒中任取一产品。试求： (1) 取出的产品为次品的概率；
(2) 当取出的产品为次品时，它来自第1、2、3盒的概率各是多少？ 解： (1)
设A：产品为次品 Bi：产品取自第i盒，i=1、2、3
则：P(B1)=1/2, P(B2)=1/6, P(B3)=1/3
P(A|B1)=3/9, P(A|B2)=2/12, P(A|B3)=6/24 P(A) =
?P(AB)= ?P(B)?P(AB)?5/18
iiii?1i?133?3k?1?5P(ABk)??1(2) P(Bk|A) = =?k?2
P(A)?10?3k?3??10（1001）二、（12分）有某个工矿企业存在大量可疑肺癌病人，这些病人中从事某职业的人占45%。据以往记录，此职业的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不
从事此职业的可疑病人中仅有5%确患有肺癌（全概率公式、贝叶斯公式）
(1)在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率
(2)在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他从事此职业的概率 解：设A={从事某职业的可疑病人}，B=｛患有肺癌｝
P?A??0.45，P?A??0.55，P?BA??0.9，PBA?0.05 4分 （1） P?B??P?A?P?BA??P?A?PBA?0.4325 8分
（2）P?AB??P?A?P?BA?P?B??0.9364 12分
????（0901）三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有96%是非危险人物。问：（全概率公式、贝叶斯公式、独立性） （1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？
（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少这样的检查关卡？
解：（1）设A＝｛被查后认为是非危险人物｝， B＝｛过关的人是非危险人物｝，则
P?A??P?B?P?AB??P?B?PAB?0.96?0.98?0.04?0.05?0.9428
??P?BA??P?B?P?AB?P?A??0.998
（2）设需要n道卡，每道检查系统是相互独立的，则
Ci={第i关危险人物被误认为非危险人物}，P?C1?Cn??0.05n，所以
1?0.05n?0.999，n?ln0.0001?ln0.0001?，即n????1=[3.0745]+1 = 4 ln0.005ln0.05??（0801）三、（本题10分）设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生
产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1，0.2，0.3。从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求这件产品为正品的概率。若取出的产品为正品，则它是甲厂生产的概率是多少？（全概率公式、贝叶斯公式）
设A=“取出的产品是正品”；
B甲= 取出的产品是甲厂生产的” B乙= 取出的产品是乙厂生产的” B丙= 取出的产品是丙厂生产的” 则P(A)=P(AB甲)+P(AB乙)+P(AB丙) =0.5?0.9+0.3?0.8+0.2?0.7=0.83
P(AB甲)P(B甲)?P(A|B甲)0.5?0.9 P(B甲|A)????0.54P(A)P(A)0.83
（0701）五、（本题8分）已知产品中96%为合格品。现有一种简化的检查方法，它把真正