?ax2f(x)???0,0?x?1,,其他（其中a是常数）
且假定事件A={X>0.5}与事件B={Y>0.5}独立. (1) 求常数a。(2) 求P(A)和P(A?B)。 解答： (1)
?10ax2dx?1,a?3。
(2) P(A)??10.5, 3x2dx?78P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?[1?P(B)]?P(A)[1?P(B)](?A,B独立)?1?P(A)[1?P(A)]（?X,Y同分布）?1?74957??86464（1201）七．（2学分，本大题9分）。
设X服从参数为?的指数分布，其密度函数为 （分布函数的性质）
??e??x,x?0, f(x)??
0,x?0.?求随机变量Y?g(X)?Max{X,4}的分布函数。 解答：
2FY(y)?P(Y?y)?P(Max{X2,4}?y)?P(X2?y,4?y)0,????P(?y?X?y),y?4,0,????yy?4.???e-?xdx,?0y?4,?0,??y?4.?1-e-?y?4,
y,y?4.（1101）六、（2学分） (10分) 设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为
2??1X~??
0.30.7??而Y的概率密度为f?y?,求随机变量U?X?Y的概率密度g?u?（.概率分布密度） 解 设F?y?是Y的分布函数,则由全概率公式可知,U?X?Y的分布函数为
G?u??P?X?Y?u?
?0.3P?X?Y?uX?1??0.7P?X?Y?uX?2? ?0.3P?Y?u?1X?1??0.7P?Y?u?2X?2?
由于X与Y独立,得
G?u??0.3P?Y?u?1??0.7P?Y?u?2??0.3F?u?1??0.7F?u?2?
因此,U的概率密度为
g?u??G??u???0.3F??u?1??0.7F??u?2??0.3f?u?1??0.7f?u?2?
（1106）三、（分布密度函数）(12分) 随机变量 ? 服从N(0,4)，?=2。求：
?
(1) ?的概率分布密度函数f? (y)；(2) E?；(3) D? Fη(y)=P(η 11??e2ln22?yx28122? ?lnyln2??e?x28dx fη(y)= F’η(y)= 1(2) Eη = 22?2 ?ln2y8ln22?????2?e2 x?1dx= 22??????x28e?1?x?4ln2?2?16ln228??dx=e2ln22?22ln2 1(3) Dη = Eη – (Eη )= 22? ?????2?e2x?dx－e4ln22 21= 22??????e?1?x?8ln2?2?64ln228??dx－e4ln2 =e8ln2－e4ln2=24ln224ln2?1 22??（1106）八、（数学期望等）（2学分）(14分) 设随机变量 ? 的分布函数为： ?0 x?0?x? 0?x?1?2??2F?x??? 1?x?2 ?3?11?12 2?x?3???1 x?3 求： ( 1 ) P?????1??； ( 2 ) P?2???4?； ( 3 ) E? 2?1?11?解：① P????=?1dx?P???1??P???2??P???3? 2?22? = 1?21??112??11?3??????????1??? 4?32??123??12?4②P?2???4??P???2??P???3??1111?? 4123317③ Eξ =?x?dx??i?P???i?? 026i?1（1001）四、（10分）已知某家电在t?0时刻正常运行。已知它在时刻t还正常运 行的条件下，在?t,t??t?这段时间损坏的概率等于??t?o??t?。求它正常运行时间大于t概率。（概率密度函数） 四、解： 设?表示正常运行时间，F(t)?P???t?，当t?0时，F(t)?0 2分 t>0时，题中条件为：P(t???t??t|??t)???t?o(?t) 5分 即： P(t???t??t,??t)F(t??t)?F(t)????t?o(?t) P(??t)1?F(t)F(t??t)?F(t)??(1?F(t))?o(1) ?tdF(t)令?t?0，则??(1?F(t)) 8分 dtd(1?F(t))???(1?F(t))，1?F(t)?ce??t，?F(0)?0，?F(t)?1?e??t dt故它正常运行时间大于t概率：P(??t)?e??t 10分 （0901）四、（8分）随机变量X服从N(?,?2)，求Y?aX (a?0)的密度函数（概率密度函数） 解：当a?1时，Y?1，则FY?y????0y?1 1y?1?dFY?y??0 dy当0?a?1时，当y?0时，FY?y??P?Y?y??0，fY?y??当y?0时，FY?y??Pa?X?y?P?Xlna?lny? ?lny?lny???lny??FY?y??P?X???1?P?X???1???? lnalnalna??????fY?y??dFY?y?11???edyylna?2?lny??)2?lna22?( 当a?1时，当y?0时，FY?y??P?Y?y??0，fY?y??dFY?y??0 dy当y?0时，FY?y??P?X???lny??lny?????? lna??lna?lny??)2lna?2?2(fY?y??望及方差） dFY?y?11??edyylna?2? （0801）五、（本题15分）设随机变量X的概率密度函数为（概率密度函数和它的数学期 f(x)?1?|x|e,???x??? 2求：（1）X的概率分布函数； （2）X落在（-5，10）内的概率； （3）求X的方差。 ?1xe____x?0??2(1)由题意f(x)???1e?x___x?0??2?1xe____x?0??2故F(x)???1?1e?x_x?0??211(2)P(?5?X?10)?（1?e?10)?(e?5)220+?1111??(3）EX=?x?exdx??x?e?xdx?[(x?1)ex]0?[(?x?1)e?x]0????02222_____?0+?1x21?xedx?x???2?0?2edx11??___?[x2ex?2xex?2ex]0[?x2e?x?2xe?x?2e?x]0?2???222DX?EX2?(EX)?2EX2?0x2? （0801）八、（本题6分）设随机变量X服从（0，1）上均匀分布，Y服从参数为λ=5的指数分布，且X,Y独立。求Z=min{X,Y}的分布函数与密度函数。（分布函数和分布密度函数） Z的分布函数F(z)=P{Z?z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)?P(Y>z)当z?0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0 (0701) 4. 设P(x)=??2sinx,x?[0,A?]。若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A= 0,x?[0,A?]?（ ） A.1/2 B.1/3 C.1 D.3/2 4. B 注释：?2sinxdx?1 0A? 5. 若?1，?2，?，?6相互独立，分布都服从N(u, ?),则Z= 21?2?(?i?16i?u)2的密度函 数最可能是 （ ） ?12z/221?ze,z?0A. f(z)=?16 B. f(z)=ez/12,???z??? 12???0,z?0C. f(z)= 112?e?z2?12?z/2,z?0?ze/12 ,???z??? D. f(z)= ?16??0,z?0?1?e??x,x?0（0701）5. 设随机变量?的分布函数F(x)=? （?﹥0），则?的密度函数 ?0,x?0p(x)=______________ ,E?= , D?= . （指数分布和密度函数）