数学基本概念才是根本，这样才能与数学“声气相通”，才有能力识破“七十二般变化”的“真身”。
其次，应试确实有技巧，但获得技巧的途径有天壤之别。一种是靠大量做题卖苦力，其结果可能是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；另一种是靠智慧而实现的“四两拨千斤”，其结果一定是高奏高考的凯旋之歌。
第三，提高学生的解题能力，需要经历一个以数学双基训练为载体的“悟道——得道——进入自由王国”的过程，必须有一个从有“型”到无“型”、从有招到无招的过程，这样才能实现融会贯通，达到随心所欲、见招拆招的境界。当前的问题在于：执著于“型”，执著于“招”，即执著于题型及其对应的技巧，深陷题海不能自拔，无法“悟道”，进入自由王国就更无从谈起，解题能力也就无法精进而上层次了。
当然，“师傅领进门，修行在个人”，学生能上到怎样的层次，要看他自己的造化，但作为人生导师，责任在于点化学生的智慧，使他在现有水平上开悟，帮助他实现人生目标。不过，教师自己开悟才有可能使学生开悟。因此，教师应提升自己的层次，以提高点化学生智慧的能力。
曾经有老师与我说，“章老师，你说得都对。我知道，按你的方法，做十个题目就可以得十分；而我要求学生做五十个题目只能得十一分。虽然你的方法质量、效率高多了，但我仍然会让学生做五十个题目。因为很可能多一分学生就能上重点了，而家长、社会、行政看的是最终结果，不会在乎过程是怎么做的。”确实，改变评价标准与机制，不以一张试卷定乾坤，是解决问题的要件之一。但我们是否有勇气这样做：让学生做十个题目就能得到十一分，甚至是十二分！高考高分就应该这样得到！
过程自然才能使学生“会”
章建跃
最近看到一个“余弦定理”的教学过程：
师：在△ABC中，已知CB=a，CA=b，a≥b。当∠C从小到大变化时，AB的长变化趋势如何？
生：随∠C的增大而增大。
师：特别地，∠C=0°，90°，180°，AB的长等于多少？
生：a－b；
；a+b。
师：把三个结论在形式上写得更接近些，即 ∠C=0°时，AB=∠C=90°，AB=∠C=180°，AB=
；
； 。
你能根据上述三个特例的结果猜想∠C=θ(0°＜θ＜180°)时，AB的长是多少吗？ 生：AB=
。
师：很好。大家能给出证明吗？ 生：??
师：怎么不会呢？我们可以这样来证（教师板书证明过程）。 这段描述引发了我的思考：学生不会的原因是什么？
我认为，上述教学不包含使学生“会”的成分。三个特例的“统一形式”是老师以变魔术的方式变出来的，过程不自然，学生的“猜想”只是照猫画虎。因为过程不自然，所以“猜想”是老师强加给学生的；因为没有体现“内容所反映的数学思想方法”，所以学生得到的“猜想”是没有灵魂的；因为“猜想”不蕴含思想，所以学生不会证明是自然的。
那么，如何才能使学生“会”呢？我认为，在理解余弦定理及其反映的数学思想方法的基础上，再设计自然的过程，就能水到渠成地使学生“会”。可以从两个角度看“自然的过程”：
从解三角形角度，就是“已知三角形的两边及其夹角，求三角形的其他边和角”，解决它的核心思想方法是将它转化为已解决的问题，如解直角三角形、利用正弦定理等。
从向量及其运算角度，就是“在△ABC中，已知向量的长”，解决它的基本思想是利用
，
的长和∠A，如何计算向量
和向量的数量积概念。由此可以发现余弦定理
是勾股定理的推广。
根据上述理解，可按如下思路设计教学过程：
思路1（1）明确问题——在△ABC中，已知AB=c，CA=b和∠A，求BC；（2）有哪些知识可用？——三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数，正弦定理等；（3）能否将问题转化为已解决的问题？如何转化？
思路2 （1）明确问题——在△ABC中，已知
，
和∠A，求
；（2）有哪
些知识可用？——根据向量加法的三角形法则有，而，再由向量的数量积定义可得结果。
上述思路1反映了“解三角形”的需要，体现了“将新问题化归为旧问题”的思想，学生容易接受，但局限是仅在平面几何中转圈圈，只反映了余弦定理的一个小应用；思路2简单且视野开阔，是“用另一种眼光看问题”，蕴含着“作为相对量的线段”的思想，不仅可以“解三角形”，而且具有深远的发展空间。
回归基础
章建跃
我国数学教学有重视双基和能力培养的传统，这是我国数学教育保持优势的基石。然而，教育功利化所导致的短期行为，使人为技巧化难题和过分强调细枝末节的内容充斥课堂，数学教学=题型教学，教学远离双基，不仅使学生的创新精神和实践能力得不到培养，而且使双基优势逐步丧失。阅读“英国AQA数学A水平考试内容介绍”一文，这种感觉尤为强烈。从文中看到，作为英国大学招收新生的入学标准，考察的内容不仅涉及我们熟悉的初等数学内容（立几等除外），而且还有微积分(含微分方程)、概率统计、向量、矩阵等现代数学内容，知识面之广我们无法企及，大部分考题都是“基础题”，但“对部分知识的考察也有一定的难度”。比较“A水平考试”，反观我们的数学教育，确有危机感。
要改变现状，我认为提高对“基础”的认识是当务之急，先要解决“什么叫基础”“如何落实基础”等问题。
我们知道，“基，始也”，事物发展的起点叫“基”，没有它就是“无源之水”；“基，根本也”，事物的本源叫“基”，没有它就是“无本之木”；“基，基调也”，主要观点、基本思想就是“基调”，没有它会失去方向。中学数学的基础应是那些为学生终生发展奠基的初等数学核心部分，具体内容则需深入研究。当然，要有广与深的辩证统一，广而浅（蜻蜓点水、走马观
花）不行，窄而深（深度挖掘、层层拔高）也不行。但无论怎样，人为制造的繁题、特技等肯定不在此列。
那么，如何落实基础呢？相信大家都有这种感受：知识，教得简单、自然而有思想性，难；教得复杂、造作而形式化，易。解题，讲难题、讲技巧，易；精中求简、回归概念、循循善诱、引人入胜，难。为了教得准、精、简，需在如下几方面努力：
首先，教师“必须要对基础数学的本质和基本思想下一番深切的返璞归真的功夫”（项武义），并在使数学变得易学、好懂，使学生能懂、会用上下苦功，以切实减轻学生负担，真正提高教学质量和效果。
第二，应真正解决学习兴趣问题，如陈振宣先生在“数学教学公理刍议”中所述，通过有丰富数学内涵的情景，将数学定理、公式等的学习融入创造性解决问题中。
第三，提高“思想性”，使学生逐渐掌握数学研究的“基本套路”是当务之急。例如，“不等式基本性质”的教学，要在“数及其运算”的系统中，以“运算中的不变性、规律性就是性质”为基本思想，引导学生运用实数大小的基本事实和实数运算律，一以贯之地推导所有不等式的性质和其他不等式。
第四，解题教学要强调基本概念所反映的思想方法这一根本大法的应用，而不是“对题型、想技巧”。要让学生养成“回到概念去”思考和解决问题的习惯，“把一个比较复杂的问题，‘退’成最简单最原始的问题，把这个最简单最原始的问题想通了、想透了”，然后再归纳、综合而实现飞跃，“这是学好数学的一个诀窍”（华罗庚）。
数学教学应回归基础，在让学生认识数学“基本套路”的过程中，理解数学的基本思想、方法和精神，这样才是数学育人。
教师做教科研要“小中见大”
章建跃
随着高中课改的不断深入，数学教学改革中的各种深层次矛盾不断暴露，促使广大数学教师开展不同形式的教科研。教科研不仅使数学教学的质量和效益有了一定保证，而且使数学教师专业化发展有了坚实的平台。不过，困扰我们的问题是，怎样才能使教科研真正为教学服务？
本期沈金兴老师的“一次概率事件的测试对新课程概率教学的启示”一文，为一线教师结合自己的日常工作开展教科研做出了一定示范。从中可以看到，他所选的课题很具体、很“小”：为了了解学生对不确定现象的理解方式、概率学习的常见错误及原因，为有效进行概率教学提供依据，他借鉴已有研究中的成熟方法，以自己的学生为被试，通过测试收集数据，通过统计分析获得学生概率认知水平发展状况的描述，并以数据为支持，区分出学生的概率概念错误理解的类型，在此基础上提出有理有据的概率教学建议。由于概率是许多教师心里没底、深感棘手的内容，因而这一研究能实在地为概率教学提供指导——学生的概率学习困难有哪些，如何帮助学生理解相关概念，概率教学中应注意哪些问题等。所以，沈老师的研究是“小中见大”的。
一般而言，一线教师搞教科研，两种倾向要防止：
一是大而空。如有些老师以“全球化背景下的数学教育”“建构主义理论指导下的数学教学”“构建系统观念下的数学课堂”“新课程理念下的数学课堂教学模式”??为选题，我想这是很难产生有说服力、有用的成果的，因为这些题目理论性太强，不搞纯理论的人很难对它们形成直接感受，而教科研要在“心动”基础上的“行动”才有效。
二是局限于解题研究中的技巧堆砌。解题研究是一线教师教科研的重要选题，如果围绕“如何解题”、“怎样教会学生解题”等开展研究，通过实证和理论分析，深入讨论解题的功能（如解题与理解数学知识、培养思维能力等的关系）、成功解题的基本条件、解题的基本思维策略、解题的思维过程等，探讨通过科学、有序的解题训练而使学生形成良好的数学认知结构、发展数学能力并进而养成数学地看待和解决现实问题的习惯等的规律，那么研究对教学会有很强的正效
用。但许多教师却热衷于“解法一、解法二??”，沉浸在题型归类上，举的例子是“老面孔”（最近大家都用高考题），所用的“招数”也是“老套路”，这样的研究作用就有限了。
一线教师的长处在于“天天要上课”。只要做有心人，勤于记录教学中的点滴火花，并勤于思考其中的成败得失，积累一段时间后就能形成一定的想法，再进行归纳概括就有基础了，写出的文章也会有观点、见解了。我认为，一线教师只有真心诚意地热爱教科研，使之成为自己的生活常态甚至成为生活方式，专心致志地研究教学，在实践过程中随时随地思考、随时随地发现、随时随地实践、随时随地体验、随时随地领悟、随时随地反省、随时随地概括总结，才能使自己在教师专业化的道路上走得更快、更远。
教学中培养创造能力
章建跃
2009年10月11日，温总理以《教育大计，教师为本》为题，正式发表他教师节前去北京35中听课的点评和讲话。因为有对数学课的点评，自然引起我的格外兴趣。给我印象最深的点评是：“基础课必须给学生以清楚的概念”；“这堂数学课概念清楚、启发教育、教会工具、联系实际，说明我们数学的教学方法有很大的改进”。给我强烈震动的是他对我国教育问题的准确判断：“这些年甚至建国以来培养的人才尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要，还不能说在世界上占到应有的地位。”“中国培养的学生往往书本知识掌握得很好，但是实践能力和创造精神还比较缺乏??我们在过去相当长的一段时间里比较重视认知教育和应试的教学方法，而相对忽视对学生独立思考和创造能力的培养。”
温总理的讲话切中我国教育时弊，其实广大教师也“早就看到了这些问题”。作为“太阳底下最光辉的职业”的从业者，我们在解决这些问题时应做些什么？在无法回避的应试环境中，如何加强对学生独立思考和创造能力的培养？
南京师大附中“数学课堂研究性教和学实验”课题组的做法给我们很大启发。为了使研究性学习落到实处，他们提出“把研究性学习引入常态化的课堂教学”并开展探索。他们区分了研究性教学的类型，结合概念课、习题课、复习课等不同课型的特点，有针对性地开展研究性教学，培养了学生的探究创新能力和协作精神，使学生从模仿记忆学习逐渐向创造性学习发展，取得了较好成效。这表明，只要像温总理说的，“树立先进的教育理念，敢于冲破传统观念的束缚，在??教学内容、教育方法??等方面进行大胆地探索和改革”，在课堂上“创造自由的环境”，“做到学思的联系、知行的统一”，就能使学生学会学习，培养他们的创新思维。
受此启发，我想就概念教学中培养创造能力的问题谈点想法。
数学是基础学科；数学教育的目的是提高学生的数学素养，为学生的终生发展打好基础；数学学习的任务是掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，学会有条理地思考、有逻辑地表达，培育理性精神，学会用数学的眼光看、用数学的头脑想、用数学的手段做。这些都与“基础”紧密相关。基础课必须给学生以清楚的概念！教好概念是重中之重！
数学概念教学能培养学生的实践能力和创新精神吗？当然能！这是因为数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材。数学是玩概念的，数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式方法迁移能力最强。所以数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握“书本知识”，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力。
数学教师，一介平民，没有权力和平台去决策国家大事。但你是教学的主导，课堂的一切“你说了算”，你的行为对学生有重大影响。因此，在基础知识教学中融入探究成分，讲逻辑推理之前先让学生进行归纳、类比、猜想等合情推理，把创新精神与实践能力的培养落实在课堂，这是想做就能做、用心能做好的。
国家兴亡，匹夫有责。温总理高度重视教育和对杰出人才的渴望深深地打动着我们，他对我国当前教育的忧虑极大地感染着我们。愿广大教师能与总理气息相通，把危机感化作教育创新的不竭动力，行动起来，为培养人才尤其是杰出人才作出贡献。
课堂教学的两个关键
章建跃
本期刊登了沈顺良老师的原文和我们对该文的修改，试图通过对比，一方面说明如何修改文章，提高写作水平（当然，修改后的文章也未必臻于完善），另一方面，更重要的是想利用修改后的文章说明保证课堂教学质量和效益的两个关键——“自然的过程”和“恰时恰点的问题”。
课堂教学中，“自然的过程”来源于数学知识发生发展过程和学生认知过程的融合，具体表现为对数学概念、原理的不断归纳和概括的过程。沈老师提供的教学案例，从课堂教学整体结构看，在“引入（哥德巴赫猜想）——理解（拼图与前n个正奇数的和）——应用（例题、练习）——小结”等各环节中，围绕“一种观察”，选择若干具体事例，安排了“语言转换”“变形”“不同角度观察”等活动，使学生经历了“突出共性”的过程，学习了观察的方法，这是好的。欠缺的是“过程”不精细，对学生思维的引导不够精确，数学上的实质性思考不到位。而这些不足正是源于对具体事例的数学本质和学生的认知过程的把握还不到位，由此而影响了本课的教学效果，真是“细节决定成败”。例如，“拼图游戏”的教学，因为对拼图的“过程”和“结果”（从数及其运算角度看）的数学含义挖掘不够，对学生在“形”转化为“数”中的困难估计不充分，致使教学出现如下问题：“拼图过程”的“从头至尾”的性质没有得到揭示；“一种观察”没有列出而使“共性”不够突出；“拼图结果”的解释不到位；将“拼图过程和结果”转化为“数及其运算的表示”不够自然；对归纳推理的难点分析太笼统；等。
我们认为，“问题引导学习”应当成为一条重要的教学原则，是改进教学方式的主要平台，而“恰时恰点的问题”则是提高教学质量的关键。“问题”既需要课前预设，也要强调课中生成。课前预设基于教师对数学知识发生发展过程的关键点及其学生理解困难的分析，预设的问题应当围绕当前内容的本质与核心，明确具体、易于理解；课中生成的问题主要源于学生对学习内容的理解偏差，靠教师的教学机智。例如，在对“拼图”的观察中，“观察得到什么？”的数学含义不够清楚，思维指向也不明确，而“观察到什么共性？”有明确的数学含义——共性，指出了观察的目标，有较好的思维导向；同样，例1中，“此问题中你能直接观察吗？”改成“根据上述经验，如何转化问题才有利于我们观察？”，其目的是引导学生回顾“几个事实——一种观察——归纳共性”的经验，从已知条件中转化出“几个事实”，通过观察“看出”它们的“共性”；等。
总之，“自然的过程”和“恰时恰点的问题”是提高课堂教学质量和效益的关键，同时也集中反映了教师的专业化水平，是提高教学能力的抓手，值得我们付出努力。
最后，应当说明，沈老师提出的通过突出“一种观察”而获得一类事物中“几个事实”的共同特征，进而归纳出该类事物的某一性质，抓住了“归纳推理”教学的核心，这是最难能可贵的。我们的“修改”也是在这样的思想指导下进行的再完善。
让学生学真正的数学
章建跃
我以《数学课要教数学》为题写了第6期的“编后絮语”，并认为，以伍鸿熙提出的数学的五个基本原则进行数学教学，是“数学课教数学”的基本要求。下面我想继续这一话题，谈谈如何让学生学真正的数学。