社会中，迅速的运算、高超的技巧已不值得炫耀了。如果还继续沉浸在双基扎实、解题能力强、考试成绩好的自我安慰中，那么结果只能是子子孙孙为别人打工，这绝不是危言耸听！
要把精力集中在核心知识的研究上
章建跃
本期有两篇讨论“零向量”问题的文章。从赵宏伟老师的参考文献中看到，许多老师对这个问题感兴趣。在我平时的调研中也常有老师问及于此。这些都说明“零向量与任一向量平行”“零向量与任一向量垂直”之类的规定，真的困惑了不少老师。对此，我有如下想法与大家交流。
首先，从向量代数的角度看，我们首先感兴趣的是非零向量，它们有好的运算—加法，并由此延伸出数乘向量。为了使它的逆运算（即减法）完满、不留空白，必须引进零向量。这是零向量的核心意义，就像实数集中的0在运算中的地位一样。由于零向量的位置特殊，数学家们约定“零向量的方向不确定”。这样，在处理具体问题时，让它与某一向量平行或垂直都可以。这是一种人为的、合乎习惯的并且方便于应用的规定，就像“0既不是正数，也不是负数”（其实也可以说成是“0既是正数，也是负数”）一样。
其次，向量有它的几何原型—有向线段，而且我们借助于几何图形，用“三角形法则”等定义它的运算，因此“向量集数与形于一身”。在研究了向量的运算及其规律后，回头再看向量运算及其结果的几何意义，就有了解决几何问题的向量法，而且向量法的力量无限。这种力量集中体现在它仅用“向量相加的‘首尾相接法则’”、“向量数乘的意义和运算律”、“向量数量积的意义和运算律”、“平面向量基本定理”等四条基本法则来解决几何问题。这些是中学向量教学应关注的核心问题。
第三，我们应把精力集中在核心的、更重要的内容上。例如：
如何理解函数概念？为什么课标提倡“从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念”？
如何帮助学生建立向量概念？为什么要强调向量的几何背景、物理背景？向量法的特色是什么？
如何与时俱进地理解任意角的三角函数？为什么要强调单位圆的作用？ 为什么说“等差数列是自然数列的变式”？
为什么说“统计的核心思想是归纳的思想”？统计教学为什么要强调让学生亲自动手收集数据？
为什么说“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”？为什么在古典概型之前不讲计数原理？
如何理解“瞬时变化率就是导数”？导数的思想及其内涵是什么？
当然，教师在自己深刻理解的基础上，还要将这种理解做出教学表达，其目的是要有利于学生的理解。例如，把“零向量的方向不确定”与“0的符号不确定”作类比，可以帮助学生体会零向量的“味道”。
这篇短文是我在绍兴讲课时写成的。突然有一个联想，对零向量的这种“考证”，是否与当年孔乙己对茴香豆的“茴”有多少种写法的考证一样呢？这个联想对考证零向量的老师确实是大不敬了，望海涵。但无论如何，费那么多的笔墨于零向量，确实不够大气。
注：本文涉及刊物内容详见张景中等《向量教学存在的问题及对策》，载《数学通报》2009年第9期。
要注重系统思维的培养
章建跃
数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。
系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法??系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维（见注）给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。
中学数学中，数、式及其运算，方程与不等式，多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数，等差数列、等比数列，向量，平面几何、立体几何、解析几何，概率、统计，导数、积分等等，都是一个系统。每一个数学概念都可以看成一个小系统。
运用系统思维方式研究数学对象，以三角形为例，可以按如下过程展开：
第一步，定义“三角形”，明确它的构成要素，即三角形有三条边、三个角；
第二步，用符号表示三角形及其构成要素，并以要素为标准对三角形进行分类，即分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，或不等边三角形、等腰三角形；
第三步，研究基本性质，即研究要素之间的关系，得到“三角形两边之和大于第三边”，“三角形内角和等于180°”，“三角形内，大角对大边，等角对等边”等；
第四步，研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”，“三角形三条中线（高、角平分线）交于一点”等；
第五步，三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）；
第六步，特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）； 第七步，三角形的变换（相似三角形）；
第八步，直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形。 上述过程在初中阶段完成，是对三角形这一系统本身的研究。高中阶段主要从三角形与向量、三角函数等相互联系、相互作用的角度展开研究，得到正弦定理、余弦定理等。
概括起来就是：
定义——表示——分类（以要素为标准）——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系（应用）；
定性研究（平直性、对称性等）——定量研究（面积、勾股定理、相似等）。
值得指出的是，上述过程具有普适性，既适用于三角形的研究，也适用于其他数学对象的研究，因此体现了系统思维方式的结构性。数学实践活动中，只要紧紧抓住这一结构，再通过横向或纵向的类比与联系，引导学生去认识和把握具体数学对象的要素和功能的关系，就能使他们建立起研究数学对象的结构，并形成完整的认识。例如，在学习“数列”一章时，因为“数列是一种特殊的函数”，所以先要求学生概括函数的研究结构：
函数的定义——表示——图像与性质——应用——基本初等函数（重复“定义——表示——图像与性质——应用”的过程）
再引导学生类比得出数列的研究结构：
数列的定义——表示——性质——应用——特殊的数列（等差数列、等比数列）
教学过程中，由数列是“一列数”，可以引导学生类比“数及其运算”的研究，以“代数学的根源在于代数运算”为指导思想，从运算的角度去发现和提出问题、认识和解决问题。例如“等差数列”的要素是“作差”和“差相等”，前者是“运算”，后者是“结果”。因此引导学生从运算角度观察数列，是等差数列概念教学的关键。通项公式、前n项和公式以及各种性质的教学也如此。
总之，培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解题目标、实现目标的过程、解题过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。
一定要十分重视策略性知识的教学
章建跃
本期我们刊登了“中小学数学核心内容及其教学的研究”课题组的一组研究成果。实事求是地说，这些成果还没有达到成熟的程度，但是非常值得期待的是，课题组在“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”研究基础上，进一步提出的“单元设计基础上的课堂教学设计”的研究思路，并将教学设计的研究内容扩展到中学数学教学的全部课型，特别是关于策略性知识的教学研究。
我国在世纪之交发动的中小学课程改革，基本诉求是实施素质教育，减轻学生负担，提高教学质量。然而，课改发展到今天，人们发现应试教育愈演愈烈，学生负担越来越重，教学质量却越来越差。这种现状，是我国社会功利化需求的体现，课程标准的不当设计也有不可推卸的责任（例如，数学的学科特性没有得到充分尊重，数学概念的逻辑体系不够重视，内容取舍有一定的随意性甚至凭某些人的个人喜好，逻辑推理和运算受到削弱等），但必须承认，我们的课堂教学确实出了问题。其中很要害的是数学课没有把数学教好，没有把“使学生学会思考”作为最核心的教学任务，大家把大量的时间和精力都用于“题型+技巧”的训练了。
数学教学中，为了使学生掌握认识和解决问题的方法，进而“学会思考”，策略性知识的教学必须受到高度重视。正如“第四次研讨会综述”指出的，策略性知识蕴含于数学知识体系中，在数学研究中具有“先行组织者”的作用，是研究具体问题的“指导思想”。策略性知识的教学应该融入在日常教学中。
如何才能更好地融入呢？除了课题组提供的一些教学设计案例外，我这里更愿意提及本期刊登的王承宣的短文“一道2012年高考题的背景探索”。我猜想，作者是一位警官，是一位数学爱好者（看来学数学对当好警察有用），从他的文章中我们看到了策略性知识的力量。我认为，王警官非常懂得“转化”、“特殊化”、“分类讨论”、“数形结合”等各种解决数学问题的策略，而其中最主要的是很好地应用了“从基本知识出发”的思考策略，也可以说是“复杂问题简单化”的策略。运用这一策略，在讨论清楚二次函数y=－x2+x+c的性质后，令人生畏的“高考压轴题”变成了手到擒来的“小菜一碟”，确实令人称道。因此，学好基础知识，并掌握一些基本的思考策略，应付高考就绰绰有余了。
我想，王警官不是教数学的，但他给我们这些教数学的人上了深刻的一课。我们在数学课上教给了学生大量的解题技巧，学生经过模仿性训练似乎也掌握了这些技巧，但在高考考场上，真刀真枪地练的时候，他们仍然是“不知从何下手”。什么原因呢？显然，主要是因为我们并没有教给学生如何思考！
与大师为伍
章建跃
新的一年又开始了，本刊2周岁了。
新年新气象，祝福新年的话从哪儿说起呢？我想套用林革老师文章的标题“培育‘会下金蛋的母鸡’的数学家”，愿大家成为“培育创新人才杰出人才的数学教育家”。如何才能顺利实现这一愿望呢？
还是从怀尔斯说起。少年怀尔斯已着迷于数学，这当然是他的天赋，只是能将天赋发挥到极致，最终解决费马大定理的却不多见。他说：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。”这就是E·T·贝尔写的《大问题》，这本书叙述了费马大定理的历史。怀尔斯看到这本书时的感觉是：“它看上去如此简单，但历史上所有大数学家都未能解决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题。从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”
怀尔斯被吸引住了，而且真的把它解决了。他说：“??再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想??”。
怀尔斯的故事能给我们什么启发呢？“兴趣是最好的老师”“从小培养远大志向”等就不必说了，我们先看“做题目”。怀尔斯的童年回忆表明，他不仅喜欢做题目，而且还喜欢自己编新题目；不仅做课本上的题目，而且还去社区图书馆“找题目”。看来，引导学生自己编一些新题目（如课本题目的变式），特别是接触一些真正的数学问题，而不是埋头于高考模拟题的重复训练，确是培养创新人才的必由之路。
另外，从怀尔斯初次接触费马大定理的过程可见，他的学习并不局限于课本。因此，引导学生读书，特别是阅读大师们写的那些深入浅出、引人入胜的科普著作，是埋下“童年的梦想”的捷径。上世纪60年代初，北京市数学会组织华罗庚先生等一批国内著名数学家撰写的“数学小丛书”，仍是启迪数学思维的好教材。另外，项武义先生的《基础数学讲义》（人民教育出版社2004年4月版），也是一套把数学讲得“精简实用、平实近人和引人入胜”的经典之作，不仅学生可以读，老师也应该读。
令人扼腕叹惜的是，许多老师把太多的精力消耗在那些粗制滥造的教辅资料上，既无端牺牲了自己的幸福人生，也浪费了学生宝贵的青春年华。
阿贝尔说：“一个人要想在数学上有所进步，就必须向大师学习。”能受大师耳提面命的是凤毛麟角，阅读经典著作（对学生而言，经过千锤百炼的教科书也可列入其中）就是与大师气息相通的最佳途径。“经典”的精华在于它所构筑的“体系”及其使用的“方法”，阅读经典的最大好处是可以从中揣摩作者的心路历程，并在内心与大师对话。当然，只看表面文章而不潜心领悟“内容所反映的思想方法”，将无法理解大师心中的数学世界。
愿我们与大师为伍，启迪智慧、发展思维，参透数学育人的法门，在数学教育普度众生的慈航中，使自己成为虔诚的理性精神布道者。
章建跃：数学教学的取势、明道、优术
数学教学中的“取势、明道、优术”，意指教师要顺应数学教改的潮流;懂得数学育人的原则，掌握提高数学教学质量的规律;提高教育教学能力，优化数学教学方法．只有这样，才能使自己的教师专业化发展不断取得进步． 孙子云，“势者，因利而制权也．”这里，“势”是方向，“取势”则是“顺势而为”．善教数学者，首先要能“谋势而动，因势利导”．那么，数学教育发展的大势是什么?我认为，回归数学教育的本来面目，发挥数学的内在力量，实现数学育人的目标，这就是大势所趋．具体而言，就是要为学生的终生发展考虑，着眼于学生的长期利益，充分挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力为核心，使学生在掌握数学知识、学会数学思考的过程中，成为善于认识问题、解决问题的人才．那种离开数学谈数学教育，把人文精神与理性精神对立起来，弱化“运算”“推理”“逻辑”“结构体系”等关键词的做法，是逆势而行，应彻底纠正．数学教改的一个永恒主题是“数学课如何教好数学”，这是一个没有最好只有更好的“循序渐进”厚积薄发的过程，不能投机取巧．试图走捷径，借助于社会转型期各种功利化需求造势，搞割断历史的“改革”，结果必然给数学教育带来不可挽回的损害． 再看“明道”．明即明白、懂得，道即规律、原则．明道者，明白原则、掌握规律也．老子说，“人法地，地法天，天法道，道法自然”．因此，凡“明道”者一定懂得按客观规律办事．“数学是自然的，数学是清楚的”，这也要求广大教师努力掌握数学的内在规律，并按这样的规律展开教学．数学教学首先要遵循“数学的道”，懂得数学研究的“基本套路”．例如，“代数学的根源在于代数运算，?代数学要研讨的就是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题”，“数学推广过程要使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立”，这样，为了使负数能开平方而引入符号“i”，要使i能与实数一起运算，还要满足已有的实数运算律；几何中的公理化思想，即从公理出发，按“定义——表示——分类——性质(判定)”的程序，通过逻辑推理获得几
何性质(如三角形内角和是1800)；解析几何中，[形到数]——[数的运算]——[数到形]的研究思想；等等．数学教学还要掌握“学生思维的道”，按学生的认知规律教学．例如，在学了等差数列后，从“运算”出发，通过类比，可以自然地提出“等比数列”的研究任务、过程和方法；同样的，基本初等函数、圆锥曲线、向量，?都可以按照这种“认知的规律”展开教学．一段时间以来，不注重数学的内在逻辑，为体现“新课程理念”，每课都“从现实出发构建问题情境”，在学生还没有独立思考时就安排“合作学习”、“交流互动”等等，都与“数学教学的明道”背道而驰．改革中，在“反对学科本位主义”的旗号下，试图从数学和数学教育的外部寻找答案，“废默百家，独尊建构主义”等，都不能给数学教改带来福音． 第三是“优术”．“术”的基本解释是方法、技艺，如技术、艺术、学术、战术、心术等，是知识、经验、技术、方法、手段等的集合体，也是解决问题的流程和策略．“术”是“明道”后转化而来的具体操作方法，是可以提高办事效果和效率的技巧．“优术”即提升方法、技艺的水平，积累实用的策略，总结经验并从中发现规律(经验之中有规律)等等．数学教学中，在引人课题、激发兴趣、问题引导、启发思考、有效训练、巩固提高等方面的研究与实践，变革教学方式、改进教学方法、提高教学水平等追求，以及信息技术与数学教学的整合等等，都是“优术”的体现．当前的主要问题是，将“术”局限于“解题技巧”，把教学过程演化成“一个定义，三项注意，几个例题，大量习题”的流程，缺乏“以道为魂”的追求，导致方法、技巧的僵化，“术”失去了变通性，使数学教学的效果、效率双低下．
最后，取势、明道、优术的关系是辩证的．取势务虚，明道求实，虚实结合，方可行事；道为术之魂，术为道之体，以道统术、以术得道才能相得益彰，道不明，术再优也难免功亏一签．取势，远见也；明道，真知也；优术，实效也．取势明道优术并重，则数学育人可如愿成功．
知识能力与素质
章建跃
本期刊登的杨林军老师《摸清问题精心组织务实备考》一文，对北京市组织的高三学生数学学习抽样测试情况做了全面分析。测试反映出高三学生数学学习中存在的问题，例如：在解决体现知识形成过程的问题上表现不佳；审题能力薄弱；不能顺利地进行数学的文字语言、符号语言和图形语言的互译；“通性通法”不落实，基本题丢分严重；代数运算能力较弱；书写不规范，数学语言表达的准确性较差；等。从我对高中数学教学的调研发现，这些问题带有普遍性、顽固性。
高考复习已进入冲刺阶段，如何在短暂的时间内迅速扭转局面，最大限度地提高学生的应试水平呢？我认为还是应该按照考试大纲的要求，根据“基础知识与能力并重”的原则，以“能力立意”为指导思想，复习中始终将知识、能力与素质融为一体通盘考虑，全面提升学生的数学素质。
为什么要知识、能力与素质融为一体通盘考虑呢？我们可以考察一下它们的关系。首先，数学知识与数学能力是“手心手背”的关系，数学能力决定了一个人掌握数学知识的速度与质量；数学知识则为数学能力奠定基础，“无知者无能”，没有数学知识就不可能有数学能力。认知心理学的研究表明，一个人不能“数学地”思考和解决问题的主要原因是缺乏必要的数学知识，“隔行如隔山”就是这个道理。数学概念形成的能力、思维和语言表达的能力要在数学知识学习中有意识地培养，正是由于已掌握的数学知识的广泛迁移，个体才能形成系统化、概括化的数学认知结构，从而形成数学能力。其次，数学知识和数学能力是数学素质的基本要素。数学素质诉诸于实践就表现为数学能力，离开数学能力，数学素质就无从表现、观察、确证和把握。再次，在数学活动中体现的数学素质对数学知识有极大的依赖关系，数学知识在人的整体素质中也居于不可替代的基础地位。个体数学素质的高低，取决于他占有的数学知识的广度与深度，正是在数学知识的学习和使用中，学生才建构了自己的数学认知结构及数学地思考和行为的习惯。总之，从逻