第六，根据教学目标和学习任务分析编制检测工具。要根据教学目标设计课时检测题以检测课堂教学效果；要根据任务分析中揭示的子目标，精心设计提问、练习等，检测学习情况，诊断学生困难，发现教学问题，为改进教学提供依据。
总之，有好的教学设计才有好的数学教学。在教育心理学理论指导下，把“活”做精细，是搞好教学设计的必由之路。
让学生解好题
章建跃
学数学离不开解题。通过解题，学生可以加深概念的理解，深化对概念联系性的认识，优化数学认知结构，训练数学思维，提高分析和解决问题的能力。然而，所有这些解题目标都必须建立在“解好题”的基础上！
本期开篇，我们在“研究性学习”栏目一字未改地刊登了两位高一学生曹越琦、刘志宇的文章。之所以强调“一字未改”，是想让大家感受一下优秀学生的研究能力、文字表达能力。实事求是地讲，每期的投稿中，大量文章是不如两位同学的，虽然他们的文章可能是个案，但我想借此说明，我们老师应树立正确的学生观，特别是要对学生的学习能力有充分的信任。
这篇文章忠实地记录了他们花费四个月研究“简单多面体表面积与体积之间关系”的心路历程，从研究问题的确定，得到初步结论后的推广，推广中遇到的困难和挫折，再到反思和重新确定问题，概括出“生长”的定义，并进而抽象出一个具有普遍意义的问题，直至得出一个一般性结论，这确实是一个完整的研究过程。从中我们看到了两位同学在学习任务繁重下的坚持，面对曲折不气馁而勇于克服困难的勇气，更让我们看到他们如何逐步改进思路，经过不断抽象，概括出一个简单但有研究价值的问题，并用高中数学课程中不涉及的微积分知识加以解决，他们的独立思考、自主学习和创新精神历历在目。总之，尽管还不能断言他们得到的结论是否有用，但可以肯定的是，在此过程中，他们的发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力一定得到了锻炼和提高。可以相信，这样的研究经历不仅有利于他们领悟数学研究的真谛，掌握数学学习规律，学会独立思考，更轻松地学会课本中的数学知识，而且也有利于他们解题能力的提高，从而取得更加优异的数学成绩。
再看虞涛老师的“不妨这样认识双曲线”。虞老师围绕“渐近线”这一双曲线特有的属性，为我们构建了一个研究双曲线问题的框架。应当说，“从另一个角度看问题”是数学研究的“基本套路”，对于深入认识有关数学问题很有好处，同时也是培养学生的数学思维品质，提高他们的数学能力的有效方法，因而也是使学生学会学习的重要手段。不过，如果从“自然的，水到渠成的”要求出发，像前面两位同学那样，在过程中不断提出问题、改进问题并最终明确问题，逐步达到“返璞归真，至精至简”，不断完善研究方法，并精益求精地得出结论，那么我们还需要在虞老师构建的研究框架下，进一步地思考如何提出问题。例如，为什么要定义“有向距离”（就像为什么要定义“生长”概念一样）？为什么要在给“定义”之前先证明“命题1”和“命题2”？“研究框架”是如何构建出来的？为什么说“推导出双曲线的一般方程”就使知识具有系统性和完整性了？这里的“推理1，2，3”为什么不叫“推论”？该怎样证明（只用“由命题1和2及其证明可以得到”是不够的）？第三部分“研究有关的曲线与方程”，为什么要研究这些曲线与方程？它们具有典型性和丰富性吗？第四部分的“不妨思考”是怎样想到的？??总之，其中还有许多需要填补的“空当”，而这些“空当”可能是更具“思维的教学”价值的！
总之，从数学角度衡量，“好题”应具有以下“品质”：与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有自我生长的能力等；从培养思维能力的角度，则应有：问题是自然的，对学生的智力有适度的挑战性，题意明确、不纠缠于细枝末节，表述形式简洁、流畅、好懂等。
与学生认知基础相适应的教学才是好数学教学
章建跃
教学必须与学生的认知基础相适应。这是常识，相信没人对此有异议。但问题是，“学生的认知基础”的含义到底是什么？如果教师对此没有基本把握，那么十有八九会发生课堂教学行为失当。我们先来看大量课堂中都会出现的情景：
在“对数函数及其性质”的教学中，老师一般会让学生做类似如下的题目：
（1）已知函数（2）已知函数
的定义域为R，求实数a的取值范围； 的值域为R，求实数a的取值范围。
学生会模仿性地做第（1）题，而对第（2）题却很困惑，甚至觉得与第（1）题是一样的。这时，老师就会说，这个题目涉及复合函数，应该这样解：令u=x2+2x+a，则y=log2u。要使函数的值域为R，则u=x2+2x+a要取尽所有的正实数，所以u=x2+2x+a的图像与x轴必须要有交点，即Δ=4－4a≥0，解得a≤0。
效果如何呢？调查发现，大部分学生都心存疑惑：“如果有交点，u就会取到0和负数，但对数的真数不能取0和负数呀！”
面对学生的疑问，许多老师感到困惑：这个题目涉及的知识点学生都是学过的，解题过程也很简单，怎么就理解不了呢？产生这种已获得原因正是因为对“学生的认知基础”把握不准。
从认知心理学的观点看，“认知基础”主要是指已有的知识经验和反映知识经验组织质量的认知结构。也就是说，除“知识点”外，还包括“知识点”的组织质量，如理解的准确性、相关知识之间联系的丰富性和联系通道的顺畅性等。这样，在解题教学中，到底应该让学生解怎样的题目，就不能仅仅考虑是否学过“知识点”，还要考虑学生对知识理解的准确性，以及是否与相关知识建立了丰富而顺畅的联系。而要达到“准确”、“联系丰富、顺畅”，则需要大量时间和循序渐进的训练。特别地，解综合题，除需要对相关数学知识及其蕴含的思想方法的准确理解，更重要的是数学能力的准备，这是“软实力”，需要长期训练，不是学过知识点就可以游刃有余的。
回过头来看第（2）题。解决本题，知识点的准备：熟练掌握二次函数、对数函数的性质；复合函数的知识（主要是对于y=f(g(x))，u=g(x)的值域与y=f(u)的定义域的关系）；常用逻辑用语中的有关知识（实际上，Δ=4－4a≥0是一个充分而不必要条件）；等等。数学能力方面：具备处理复合函数的一般方法——弄清复合过程，实现问题转化；有处理“含有参变量问题”、充分利用中间变量“上传下达”的丰富经验；掌握数形结合思想，善于利用图形辅助以弄清其间的逻辑关系；等等。显然，对刚入学不久的高一学生，这样的认知基础是不具备的。让学生解这样的题目，就如同要求一个刚刚蹒跚学步的孩子快速奔跑一样的荒唐。
需要指出的是，让学生解超出自己认知基础、不在思维最近发展区内的题目，既是教师“理解学生”的水平不高，也是教师不自信，甚至是不负责任。这样的教学，其结果会让学生产生“我不是学数学的料”的错觉，使他们失去学数学的快乐，丧失自信心，最终害怕数学甚至恨数学。这样的题目，即使讲解清楚、到位，学生也知道了这道题的解法，但不太可能实现“举一反三”，所以教师只能通过讲解大量“题型”，并让学生进行机械重复模仿以掌握解答各种题型的“技巧”，由此自然会使学习负担越来越重。
总之，我们必须牢记，只有真正地从学生的认知基础出发进行教学，使题目处于学生思维最近发展区内，让学生能“跳一跳够得着”，这样的解题教学才会有效。
顺便一提，第（2）题是典型的人为制造的题目，不仅为难学生，其实也是老师自讨苦吃！
数学教学要“准”“精”“简”
章建跃
第三期的选稿、审稿终于完成时，长长地舒了一口气。由于本刊尚属初创，稿源不足，除了部分约稿外，其余的稿件选择余地不大，因此有的既定栏目只能“留空”，而“课堂教学研究”等栏目的稿件又稍嫌多了。这样的“不平衡”希望能在广大读者的关注下很快得到改观。另外，时逢春节，本期排版、编校方面也由于人手不够等原因而肯定存在瑕疵。就像一个婴儿蹒跚学步一样，本刊在初创阶段出现的不足，希望得到读者的谅解。
因为本期关于课堂教学研究的文章多了，所以对这方面的问题谈点个人想法。数学教学研究，如何提高课堂教学质量和效益始终是核心问题。在“大众教育”的前提下，大面积提高数学教学质量更是关键。为此，数年前，本人曾提出提高课堂教学质量的“三、二、一”：
?三个理解——理解数学、理解学生、理解教学； ?两个关键——提好的问题、设计自然的过程； ?一个核心——概括。
其依据是本人长期、大量的数学课堂观察。从数学教师的专业化角度看，导致教学质量不高的因素主要有：首要的是教师自己的数学理解不到位，导致教得不“准”——或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；由此产生的连带问题是教得不“精”——让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解，教得不“简”——在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；第三，违反学生的认知规律，典型做法是：基础知识教学搞“一个定义，三项注意”，学生没有经历知识发生发展过程的机会，没有经过自己独立思考而概括出概念和原理的机会，解题教学搞“一步到位”，在学生没有必须的认知准备时就要他们做高难度的题目。最近的调研发现，这些问题有越来越严重的趋势。
总之，提高课堂教学质量，任重道远。希望广大数学教师能贡献自己的智慧，把自己实践中的经验教训总结出来，以有说服力的案例方式参与讨论。
关注学生的感受最重要
章建跃
大家都认同“关注学生的感受最重要”这一命题，因为学习终究是学生自己的事情。课堂教学中，如果我们的教学不能打动学生，学生对我们的讲解无动于衷，那么他们就不可能有心领神会的心灵共鸣，我们讲得再精彩也只能是无功而返。所以，时刻观察学生的一举一动、表情神态，采取一定措施了解他们对新知识的理解程度，并根据他们的表现及时调整教学进程，就成为考察教师专业化发展水平的指标之一。那么，怎样才能有效地得到学生学习状况的信息，从而准确把握学生的感受呢？
本期刊登的“‘古典概型’教学应该侧重什么”和“一例程序框图的教学思考”两文给我很多启发。从他们的文章中可以看到，教师准确理解概念并作出教学解读，教学过程中认真观察和忠实记录学生的反应——特别是出现理解偏差的地方，课后做好教学反思（必要时对学生做针对性访谈），是准确把握学生学习感受的三个重要环节。
强调教师对概念的理解和教学解读，是因为教师可以从这一过程中大致了解学生的概念理解心路历程，从中获得把握学生学习感受的启发。事实上，概念的教学解读必须关注到学生的感受，这样才能使教学预设成为教学实践的有效线索。例如，学习“古典概型”，重要的是理解它的两个特征。在解释“标准化考试中，为什么多选题比单选题更难猜对”时，学生有两种回答：因为选项不确定，可能选两个，也可能选三个，选错一个就错了；基本事件的总数多了，选错的可能性就大了。这种回答隐藏着什么问题呢？学生是在用古典概型的特征作判断吗？我认为，教师能否关注到这些，取决于他自己对这一问题的理解深度。如果理解不到位，那么他就不会意识到强调“假定考生不会做”和“选择其中任何一个答案的可能性相等”的重要性，这必然会给古典概型的教学埋下隐患。
对学生的概念理解偏差作忠实记录，其意义在于为教学反思提供依据，这一点不用多说。这里着重说说课后反思问题。对学生学习感受的分析应当成为反思的重点之一。例如，在阅读“判
断整数（大于2）是否为质数”的程序框图时，鲁老师他们发现，学生对判断框中的“或
”后的走向有疑惑：“”成立后怎么还问“
或
”是一个式子成立还是两个都成立呢？“
或
”是否成立？经过分析，他们不仅找到了原因，而且形成了化解
的方法：先为学生架一座“桥”——将“自然语言”直接翻译成用文字语言描述的“程序框图”，
再在后续的学习中逐步完善。反思后的教学设计充分关注了学生的感受，教学的效益一定会大大提升。
“关注学生的感受”，其本质是“学生是主体”的学生观在教师教学行为上的反映。观念变为行动的过程，实质是教学行为习惯养成的过程，常常需要我们的终身努力。
闻思修 得智慧
章建跃
本期我们集中刊登了关于高中数学课标教材必修模块的一组实验经验交流文章。薛红霞、张曜光、李学军、李昌官、吴明华都是一线教研员，其他都是一线教师，他们是本次课改的亲历亲为者，可说是尝遍课改的酸甜苦辣，因而对课改是最有发言权的，因此这组文章可以算得上是“闻思修”而得的智慧成果。
众所周知，本次课改是为了适应我国社会发展新需要，以提高教育质量为核心，全面推进素质教育，切实减轻学生负担，努力提高青少年思想道德、科学文化和健康素质，着力培养青少年的社会责任感、创新精神和实践能力，因此其大方向是完全正确的。但是，由于种种原因，课改实施过程中存在许多不尽如人意的地方。一段时间以来，急功近利倾向甚至把课改引入歧途，严重损害了课改的声誉。对此，有各种不同的态度。怨天尤人者有之，我行我素者有之，盲目跟风者有之。而大多数老师则是理性思考、谨慎行动，薛红霞等老师的文章就是例证。
教育改革不以人的意志为转移。客观地说，当前我国数学教学确实存在许多需要改进的地方，其中特别突出的是数学教学缺少亲和力，问题意识淡薄，重结果轻过程，讲逻辑不讲思想，重题型、技巧轻通性通法引导。因此，需要广大数学教育工作者“闻思修”以获得走向课改成功的智慧，使改革的成果惠及学生，达到学得轻松、愉快而成效显著。
由于思维惯性所致，人们面对新事物的第一反应是排斥。然而明智的做法是静心听闻，而且要善听、会听，听到“无声之声”。所谓兼听则明，这样才能了解改革的真实意图，才能“闻所成慧”。
在深入了解改革意图后，还要“三思而后行”。因为改革的理想要变成现实，必须结合现实，需要我们根据当地教育发展的水平、教师自身状况、生源情况等进行周密思考，以确定改革的具体方案和步骤。如果我们能做到上下求索、反省内观，那么就能“思所成慧”了。
修，就是实践。真正的改革发生在课堂，改革的成功有赖于“苦修、乐修、真修、内修、共修、自修”。千里之行始于足下，“思所成慧”而获得的改革蓝图，只有经过实践才能变为现实，也只有经过实践才能获得修正前行的机会，这也就是“修所成慧”了。
数学教育改革需要全体数学教育工作者的智慧。一线教师，无论你是否愿意，总是处于课改的滚滚洪流中，我们可以把它看成是专业化成长的机遇，“闻、思、修，照着这个方法做，一定有成果。”
注：本文标题采自《星云大师谈智慧》，文中多处引用大师妙语。如有不当，敬请见谅。
探究式学习的天时地利人和
章建跃
本世纪初开始的这一轮课改，“探究式学习”被放在改革的突出位置。《普通高中数学课程标准（实验）》提出，“高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”。广大数学教师对教学中如何引导学生开展探究式学习进行了深入研究。本期中，有众多的文章涉及这一话题，因此我想对这一问题谈谈自己的想法。
探究式学习的实施需要天时、地利与人和。
首先讲“天时”。当今世界，经济全球化和知识经济步伐不断加快。为了掌握21世纪社会经济发展的战略制高点，我国正竭力倡导从模仿创新转向自主创新，培育自身的科技原创力。相应地，要求教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”。因此，强调探究式学习顺应了我国社会经济科技发展的要求，大力加强探究式学习“适逢其时”。
其次看“地利”。是否具有探究式学习的“地利”，主要看学习内容是否适宜于探究。一般而言，解题教学适宜于用探究式学习方式，都应当安排学生的自主探究活动。这里主要讨论数学基础知识的探究式学习问题。应当说，大部分数学概念、性质、法则、公式、定理等，都适宜于用探究式学习方式。例如“不等式的性质”，可以让学生“类比等式的性质”提出猜想，并利用实数大小的“基本事实”加以证明，这就是一个探究式学习过程；“平面向量基本定理”，可以在“用向量及其运算表示几何元素”的思想指引下，借助建立直角坐标系的方法、两条相交直线确定一个平面等经验，让学生探究而获得结论；“诱导公式”也可以在“三角函数是（单位）圆的几何性质的代数表示”的思想下，让学生通过探究终边关于坐标轴、原点以及直线y=x对称的两个角的关系，进而得到所有公式；等。显然，数学思想方法在自主探究中有关键作用，但常常需要教师的启发引导。
当然，并不是所有学习内容都适宜于探究，有的甚至不需要探究。例如，数学中某些原始性的概念定义，没有多少“开放性”，不必探究。这样的内容，重要的是让学生了解来龙去脉，理解其引入的必要性、合理性，因此采用教师讲授或让学生看书的方式即可。例如，直线与平面垂直的定义，通过生活中的事例，让学生感受到定义与自己的经验相吻合，从而确认其合理性，然后由教师叙述定义，这样安排教与学的过程是合适的。这里，用“说得清道得明”的几何关系（即“直线与直线垂直”），来定义“无法说清”的几何关系（即“直线与平面垂直”），这是一种公理化思想，教师必须向学生交待清楚，而学生则只要采用接受式学习方式即可。而关于概念的名称、符号、某些规定（如0！=1，0与任意向量平行）等，直接告诉学生可矣。
再次看“人和”。探究式学习的“人和”，就是师生所共同营造的“探究氛围”。这种氛围，一方面有赖于学生“探究式学习的心向”，另一方面也有赖于教师的“探究型教学的意识”。如果学生缺乏“遇事问个为什么”“打破沙锅问到底”的习惯和勇气，那么探究式学习就失去了内因；同样的，如果教师只注重给学生灌输现成数学结论，不给学生独立思考、自主探究的机会，那么探究式学习也就失去了其生存的时间和空间。当然，“人和”气象的出现，还需要一个位于学生思维最近发展区内的、蕴涵当前学习内容本质的问题情境，作为探究式学习的“引子”、“平台”，使探究式学习得以展开、深入，开花结果。
最后，学习是知与行相统一的主动行为，接受式和探究式是学习的两种基本形态．以学生发展为本的教学，应体现接受和探究的相辅相成，要协调与平衡认知与情感、指导与自主、能动与受动、抽象思维与形象思维、动手实践与大脑意识活动、独立思考与合作交流等各种因素，进而使学习成为一个完整的认识过程。
探究式学习的天时地利人和
章建跃
本世纪初开始的这一轮课改，“探究式学习”被放在改革的突出位置。《普通高中数学课程标准（实验）》提出，“高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”。广大数学教师对教学中如何引导学生开展探究式学习进行了深入研究。本期中，有众多的文章涉及这一话题，因此我想对这一问题谈谈自己的想法。
探究式学习的实施需要天时、地利与人和。