某些特殊问题的研究，例如虚数单位i的性质、复数的“三角形不等式”、棣莫弗公式、单位根ω的性质等等。
上述过程体现了数学发生发展的一个“基本套路”，具有普遍意义。显然，每面对一个数学新对象，如果都能引导学生按“背景—定义—表示—分类—（代数）运算、（几何）性质—联系”的线索展开学习，那么经过长期熏陶，前述数学教育的根本目标就能得到真正落实。
我认为，如果教学中真正体现了数学的逻辑连贯性和思想方法的前后一致性，那么数学将是最好学的课程。遗憾的是，当前教学中，由于缺乏对数学整体性的应有关注，教学内容被人为割裂，局限于一招一式的“解题术”，导致教学过程不自然、学习过程不连续，数学也便成了大量学生费时费力最多却收效甚微的拦路虎。数学教师对此应有高度警觉！
数学思想方法的力量
章建跃
什么叫数学思想方法？它有什么作用？数学家和数学教育工作者对此有诸多论述。通常，大家从“数学思想”和“数学方法”两个角度来阐释，认为数学思想是对数学对象的本质认识，是认识具体数学概念、命题、规律、方法等的过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想；数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等，是由思想转化而来的具体操作方法，可以提高效果和效率。数学思想和数学方法是紧密联系的。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时则称数学方法。
我们说，数学思想方法如根，它是发现和提出数学问题的源泉，是分析和解决数学问题的根本。没有数学思想方法的教学，就如同一颗枯萎的树，不能生长、开花，更不能结果。例如，大家都知道等式、不等式的基本性质“是什么”，但为什么把它们称为“基本性质”？为什么要研究它们？特别是，如何才能让学生自己发现这些性质？课堂观察发现，很少有老师把这些纳入教学视野，实际上也鲜有老师去思考这些问题。因此教学中一般都把“能用基本性质解决问题”作为目标。我认为，这样的教学缺乏必要的数学思想，是“无根”的教学，学生学到的是没有生长力的知识，“学会思考”更是奢望。实际上，代数学的根源在于代数运算，要研讨的是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题；引进一种新的数（量）就要定义它的运算，定义一种运算就要研究运算律；字母代表数，数满足运算律，所以关于字母的运算也满足运算律；等等。这些就是数学教学中用来指导学生发现和解决代数问题的基本思想。它们是宏观的，但发挥着指路明灯的作用。例如，对字母施加运算，就要研究运算法则；由运算而得到各种代数式，就要进一步研究代数式的运算；运算结果必须保持原有代数式的意义不变，因此就要研究如何保证代数变换的等价性，而等式或不等式的基本性质保证了“运算中的不变性”。所以，称它们为“基本性质”当之无愧，它们根源于运算，体现了运算中的不变性。总之，代数教学中，应让学生体会到，从运算的角度入手，是发现和提出各种代数问题的“基本套路”。
我们说，数学思想方法如手，它是解决问题的直接工具。例如，等差数列、等比数列教学中，首先是如何引导学生发现一列数具有“等差”或“等比”的特征。通常是，举出一些数列的例子，然后问“观察上述数列，你有什么发现？”如果没有“代数学的问题源于代数运算”的思想，就缺乏观察的角度和操作的手段，“发现规律”就成了“撞大运”。而具备这样的思想，学生就能自觉地想到，“算一算，看看能出现什么规律”，由此而得到它们的共同特征就成为必然。实际上，这两类数列的名称就已指明了观察的方向：“等差”意味着“相减”（运算）——“差相等”；“等比”意味着“相除”（运算）——“比相等”。
我们说，数学思想方法如船，在没有解决问题的直接方法时，它可以助你“渡过难关”。例如，复数源于解方程，数学史上，在《重要的艺术》（1545）中，Cardan解决了“把10分为两部分，使其乘积为40”的问题，列出的方程为x(10－x)=40，求得的根是5±
。人们质疑，
负数怎能开平方？是“虚构的数”。想要接受它的人就想给出几何解释，让大家实实在在
地“看到”它，达到“虚数不虚”的目的。三个世纪后，高斯等人给出了“复平面”，给出了复数及其运算的几何意义，再加上在物理学中得到应用，人们终于承认了复数。进一步地，数学家把复数与三角、向量等联系起来，开辟了一片充满生机的数学新天地。显然，“用图形表示复数”的思想，不仅使“虚数”渡过了“虚假”的危机，而且推动了数学的发展。
数学思想方法的力量无限，它蕴含于数学知识中，需要用心挖掘，应成为数学教与学的根、手和船。
如何培养学生提问的能力
章建跃
众所周知，问题意识、提问能力很重要，这是创新的基础。教育的根本目的就是让学生学会提问，使他们成为善于发现和提出问题、分析和解决问题的人才。然而，大量观察发现，培养学生的问题意识、提高学生的提问能力在我国的数学课堂教学中仍然缺乏力度。许多老师都非常想在课堂中培养学生提出问题的能力，但就是不知道该怎么做。学者们在谈到如何培养学生提问能力时，大多是“营造轻松和谐的氛围，使学生敢问”“创设恰当的问题情境，使学生想问”“教给学生提问的方法，使学生善问”等放之四海而皆准的大道理，可操作性不大。
到底该怎么做呢？
我认为，答案还是在数学的内部，特别是要从数学知识所蕴含的思想方法中寻找灵感。这才是根本性的。
例如，本期刊登的“让‘单位圆定义法’发挥更大的教学效益——再谈三角函数定义起始课的教学”一文，作者向学生提出的核心学习任务是：
在单位圆上，探究质点从点A(1，0)出发，匀速运动到单位圆上任意位置P(x，y)时，相关变量有哪些？哪些变量间可以构成函数关系？
这是一个带有“本源性”的问题。我想，提出这个问题，至少涉及对三角函数的如下认识：第一，“正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数”，它们的基本性质“乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映”；第二，“三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现”，“单位圆定义法”简单、本质而且不失一般性；第三，分析清楚单位圆上的点在匀速圆周运动中涉及的变量及其相互关系，是认识三角函数定义的基础；第四，理解三角函数的定义需要以扎实的函数概念为基础（满足“任意给定一个实数α，在单位圆上有唯一的一个点（x，y）与之对应”）；等等。事实上，从“建立函数模型，解决实际问题”出发，这里的根本问题是：决定单位圆上点的匀速圆周运动的要素有哪些？它们之间的相互关系是什么？
上述过程中，问题还是由教师提出的。如何才能让学生自然地提出问题呢？
我认为，提问，有不同的层次。有凭一时兴趣的“即兴提问”，完全不懂，瞎问；有具备一定的知识基础，从知识的发生发展过程中自然而然地提出问题；更进一步地，在对一个问题深入思考后产生困惑而提出的问题。有含金量的问题，需要有一般的观念来引领，有一定的数学思想作指导，有一定的思维策略作支撑。例如，如果学生知道，“代数学的根源在于代数运算”，那么当他们面对一个代数对象时，就会考虑“如何有效、有系统地进行代数运算”、“运算中有什么规律性”等，这样，学生自主发现一些代数性质、公式等就成为可能。又如，在“几何对象的要素、相关要素之间确定的关系就是性质”的指引下，学生就能很容易地提出长方体性质的猜想（6个面、12条棱、面对角线、体对角线等之间的相互关系）；在“某种位置关系下的两个几何事物（如直线与平面垂直），与其他几何事物（如直线、平面）之间确定的位置关系就是性质”的引导下，他们也能容易地想到，在直线a⊥平面α的前提下：（1）如果b⊥α，那么b∥a；（2）如果b∥α，那么b⊥a；（3）如果b⊥a，那么b∥α；（4）如果b∥a，那么b⊥α；（5）如果β
⊥a，那么α∥β；（6）如果β⊥α，那么a∥β；（7）如果β∥a，那么β⊥α；（8）如果β∥α，那么β⊥a；等等。
总之，数学的特点之一是逻辑的严谨性，它的概念、原理、法则、公式、性质等的提出，都有数学的内在逻辑必然性。以数学知识发生发展过程的内在逻辑为基础，在一定的宏观思想指导下，经过深思熟虑，学生就一定能提出有意义的、高质量的好问题。
注重“基本套路”才是好数学教学
章建跃
关于“好数学教学”，我们已经连续讨论了好几期了。我想不厌其烦地强调“好数学教学”的根本标准是“数学育人”，也就是要在学生的终身发展上产生最大的长期利益。由数学的学科性质所决定，这种“利益”首先体现在学生通过数学学习而发展了逻辑思维能力，并学会了思考，也就是掌握了研究问题的“基本套路”。
什么叫研究问题的“基本套路”呢？熟悉人教A版教科书的老师一定对下面的逻辑图印象深刻：
这就是“基本套路”。如果在教学中，一有机会就引导学生以这个逻辑图为指导展开思考活动，那么经过长期熏陶，就能使学生在潜移默化中养成一种思考习惯。最终，当他们独立面对一个新的研究对象时，就不会感到无从下手，那种“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的现象也就能杜绝了。更重要的是，“基本套路”是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力的落脚点。
高中数学中，“基本套路”的教学载体比比皆是。例如，从tan(α＋β)=
出发：
令β＝α（特殊化），有tan2α=；令β＝π（特殊化），有tan(π＋α)=tan α（诱导公式）；
更特殊地，令α＋β＝，有tan α＋tan β＋tan αtan β＝1??我们可以通过“特殊化”而“制造”
出形形色色的三角恒等式，如：已知α＋β＝，求证tan α＋tan β＋tan αtan β＝。当然，
还可以通过“推广”来“制造”，如将“二元”推广到“三元”，有tan(α+β+γ)=
；再令α+β+γ=kπ（k∈Z）（特殊化），又有
tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ；或令α+β+γ=而得tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1；当然还可以推广
到“n元”。
通过这个例子我们可以看到：第一，如果学生掌握了“基本套路”，那么他们自己也能“创造”出许多数学题目来，这样的学习既可以让学生学会思考，也可以让他们学得更主动、更有趣；第二，课标减少三角恒等变换内容和课时、降低变形的难度是非常正确的，在三角恒等变换上花费过多的时间和精力，让学生做一些与数学核心概念关系不大且人为制造的繁难变形，意义不大，的确有浪费学生时间的嫌疑，甚至是一种“与学生过不去”的行为；第三，在三角恒等变换中注重“基本套路”的教学，就是落实课标“引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练”的教学建议，就是发挥了它的教学价值。
十年苦修 一朝得道
章建跃
又到一年收获时。2012年高考将至，人们都希望老师在最后时刻能点石成金，给学生灵丹妙药，让他们成为得分高手。那么，怎样才能使学生具备“得分高手”所应有的化解各种难题的功力呢？我想从数学教学的眼前利益和长期利益两个角度谈谈认识。
显然，就眼前利益而言，数学是考生入大学之门最重要的“敲门砖”，所以数学必须得高分。高考是选拔性考试，试卷中必有学生不熟练乃至陌生的题目，解答这些题目，要靠平时积累的经验，以及从中悟出的解题之道。然而，对“解题之道”的追求，却有两种截然不同的做法：一种是急功近利，让学生在高中入学第一天就“瞄准高考”，日复一日地施以“题型+技巧”的机械训练，结果是因为过分执着于分数，反而使学生“身行道而心不随”，最终心愿难遂；另一种做法，正所谓“十年苦修，一朝得道”，以平常心对待，以“山涧流水不争先”的心态，恪守“行乎当行，止乎当止，任其自然”的教学之道，在“非教非授”之间，营造“感之悟之”的学习环境，使学生“身心皆行道”，最终掌握破解高考难题之法门而取得高分。
然而，即使是上述第二种做法，也只能算是“小乘数学教学”。“大乘数学教学”不仅关注眼前利益，更是着眼于学生的长期利益，而且使眼前利益成为长期利益的一个“驿站”。
我们曾经提出，数学教学的长期利益是“使学生学会做人做事”，“做人”就是有理性精神，“做事”就是会数学地思考。显然，靠目前课堂中用于训练学生的题目是无法实现长期利益的。那么在数学课上到底该让学生学哪些知识，养成怎样的数学精神呢？下面试用丘成桐在公众报告《几何学赏析》中讲述的“几何起源：毕达哥拉斯—柏拉图—欧几里得—傅里叶”说明之：
公元前一世纪，希腊哲学家泰勒斯提出，要创造一个演绎的方法，利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这是一个突变，以前哪个国家的文化都没有这种想法。他的学生毕达哥拉斯采取了定理证明的概念，毕达哥拉斯学派认为宇宙的实体有两个：一个是数字，万物皆数，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间的存在是无限方面的实体。数字跟空间结合而生出宇宙万象。
柏拉图是哲学家也是数学家，他提出了尺规作图三大难题：三等分角、化圆为方、倍立方体，它们直到19世纪伽罗瓦理论出现后才得到完满解决。数学家们发现，这些问题与用尺规构造的数字有密切关系，这些数字必须满足一些以整数为系数的多项式方程，而尺规构造出的数字并不能满足这些方程，因此它们不能用尺规作图来解决。柏拉图提出三个问题只是出于好奇，可解决它们的方法却影响到近代数学与近代科学的发展，伽罗瓦群论成为20世纪、21世纪最重要的理论之一。
欧几里得是柏拉图之后集几何学之大成者。他用柏拉图的学生亚里斯多德发明的三段论，从五条公理出发推导出平面几何的所有定理，开千古科学演绎法之先河，对牛顿力学体系产生了直
接影响。因为人们不太愿意接受平行公理，所以试图用其他四条公理证明之。结果，这一企图没有实现，但导致算术几何的诞生。可以说，平行公理最重要的是影响到算术几何的诞生。
算术几何以后，通过高斯与黎曼，对空间的观念开始完全改变，空间不再是欧氏空间那样简单，而是能变动、能影响日常所见的物理现象的空间。19世纪伟大的法国数学家傅里叶说，数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度，所以数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。
从上所述可见，逻辑的思想、演绎的方法、数与空间结合而生出宇宙万象的观念、解决尺规作图三大难题过程中体现的抽象思想、欧几里得公理化思想与体系及其体现的以简驭繁观念??这些才是真正的数学之道，它们与学生的长期利益关系更密切。
那么，在你的课堂中，这些体现数学之道的内容出现过多少呢？
教学设计与好数学教学
章建跃
本期刊登了“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”课题的一组研究成果，这是“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”研究的继续。这组文章表明，课题组的研究已从概念教学设计发展为针对不同数学学习类型的教学设计。作为课题的组织者，我想就教学设计与好数学教学之间的关系谈点认识。
人们常说，“教学是科学也是艺术”。教学的科学属性表明教学存在着一些普适性规律，是否能自觉运用这些规律，是判断一名教师是否合格的基本标准；同时，按这些规律设计和实施教学，就为教学质量提供了基本保证。因此，是否体现了科学性，就成为判断好数学教学的一个基本标准。
教学的艺术属性说明教学需要丰富的情感、想象力、感染力、高超的技能和“临场发挥”的能力，需要有洞察课堂“生成”的“教学机智”，要能“随机应变”。高超的教学艺术可使学生学得更有激情、更有创造性。艺术讲究个性、特色，是长期经验积累的结晶，因此教学艺术是不断观摩、模仿、领悟并融会贯通而成的教学风格。有个性，有激情，有想象力，能随机应变、因势利导等等，都是从“艺术性”角度判断好数学教学的基本标准。
综上所述，好数学教学是“预设”与“生成”的辩证统一。教学设计是“预设”，应注重科学性；课堂实施是“生成”，要发挥艺术性。
那么，如何才能在教学设计中体现好科学性呢？我认为如下几点值得重点考虑：
第一，明确目的。数学教学是有目的、有计划、有组织地进行的一种传承已有数学知识的活动，因此教学设计应以帮助学生学习、促进学生完成学习任务为目的，要“为学而设”：预设学生的问题、体验、感悟、答案、错误、疑惑 ??。
第二，理清任务。教学设计的任务就是回答如下问题：学生要去的“目的地”在哪里？采取怎样的方式、方法，组织哪些活动把学生带到“目的地”？学生已经到达“目的地”了吗？
第三，在“理解数学”的基础上设置教学目标。学生在数学课程中获得的发展以“学会数学”为前提，因此“数学课要教数学”，而“教数学”的含义就是以知识教学为载体，把知识中反映的数学思想、方法教给学生，并用知识中蕴含的价值观资源熏陶学生。
第四，在区分学习类型的基础上确定教学类型。认知心理学细致区分了学习类型（如加涅的学习结果分类，奥苏伯尔的同化理论），而且认为不同学习类型的性质、过程和条件各不相同，所对应的教学类型也不相同。因此，准确区分学习类型并进而确定教学类型，是科学地进行教学设计的必要条件。
第五，在任务分析的基础上确定教学过程和教学方法。教学设计中的任务分析包括（见注）①通过对教材和学生分析，确定单元或课时教学目标；②对教学目标中的学习结果进行分类；③根据学习条件分析揭示实现教学目标所需要的先行条件，即使能目标及其顺序关系；④确定与教学目标有关的学生起点状态。根据任务分析所揭示的学习类型和条件，才能恰当地确定教学步骤和方法。