第八讲 比例模型
1鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
鸟头模型：有相等（或互补）的内角的两个三角形，其面积比等于相等（或互补）内角的夹边乘积之比.
A D A E E B C B 即有关系式
D
C S?ADEAD?AE?存在。
S?ABCAB?AC
2、风筝模型 （蝶形定理）
任意四边形中的比例关系：
①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4 ②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系
AS2aS1OS3S4DBbC①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?． 3相似模型
2ADB①
FGEC
ADAEDEAF； ???ABACBCAG22②S△ADE：S△ABC?AF:AG
正确识别各种图形所属的模型，并正确熟练运用比例模型中的关系
例1如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，
S△ADE?16平方厘米，求△ABC的面积．
ADEB答案 70平方厘米
C
解析连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)， S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE△:SABC?(?24?):(，设
S△ADE?8份，则S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米
例2 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的面积．
AFDBEC
答案24平方厘米 解析
S△BDE:S△ABC?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6
，
设S△ABC?24份，则S△BDE?4份，S△ADF?4份，S△CEF?9份，
S△DEF?24?4?4?9?7份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC?24平方厘米
例3 如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE?2ED，则阴影部分的
面积为．
AOB答案 2.7
EDAMOBENDCC
解析如图，连接OE．根据蝶形定理，ON:ND?S?COE:S?CDE?以
1S?CAE:S?CDE?1:1，所2，
所
以
1S?OEN?S?OED21?EMS?5；
1OM:MA?S?BOE:S?BAE?S?BDE:S?BAE?1:42S?O11S??S矩形ABCD?3，S?OEA?2S?OED?6，所以阴影部．又O?OEDEA3411分面积为：3??6??2.7．
25
例4 如图，已知CD?5，DE?7，EF?15，FG?6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．
AACDBEFGCDBEFG
答案 40
解析连接AF，BD．
根据题意可知，CF?5?7?15?27；DG?7?15?6?28； 所以，
S?BEF?15S?CBF，S?BEC?12S?CBF，S?AEG?21S?ADG，272728S?AED?7S?ADG， 287122115S?S?CBF?38； S?S?65于是：；?ADG?ADG?CBF28272827可得S?ADG?40．故三角形ADG的面积是40．
例5 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于1三角形BCD的面积的，且AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________
3倍．
AOB答案 2:1
DC
解析∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1
例6 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，
则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? ．
ADFBEGC答案 1:3:5
解析设S△ADE?1份，根据面积比等于相似比的平方，
2222S:S?AD:AF?1:4S:S?AD:AB?1:9， △ADE△AFG△ADE△ABC所以，
因此S△AFG?4份，S△ABC?9份， S?3S?5S:S:S?1:3:5进而有四边形DEGF份，四边形FGCB份，所以△ADE四边形DEGF四边形FGCB