lP2?l2??2Il?R??2Il???2 Pcu 2S?Ucos?S?22现要求功率损耗相等，即：
?， PCu?PCu由此得 S??2S
三相输电线的用铜量为3Sl，单相输电线的用铜量为2S?l?4Sl，即三相输电线的用铜量为
单相输电线用铜量的3/4。
第四章 非正弦周期电流电路
4.1 验证图4.1.1(b)所示三角波电压的傅里叶级数展开式，并求出当Um=123V时的有效值。
解：三角波电压在一个周期（??,?）内的表示式为
2?Um?t?2Um ????t??? ?2u(t)= 2Um?t ????t??
?22 ?2?Um?t?2Um
?2??t??
由于u(t)是奇函数，故其傅里叶级数展开式中，系数A0=0，Ckm=0
Bkm?1? ?1??u(t)sink?td(?t)
?????2?????2Um?2Um(?t??)sink?td(?t)????2?1?2Um2??tsink?td(?t)?
1?????2?(?t??)sink?td(?t)
对第一个积分式作变量变换后，与第三个积分式相同，故
Bkm?4Um?2???2(??t??)sink?td(?t)?2Um?2???tsink?td(?t)
2?2?4U??mk?2??4Umk?2??(??t??)cosk?t????2?2U???cosk?td(?t)??m2k??2?????tcosk?t???2??2???2?cosk?td(?t)? ?2???????1????2Um?cosk?sink??sink??????2?22k?2??k???????1????2?cosk?sink???2? ?22k?2??? ?8Umk?sin
2k2?2
k?2l?1?8Um(?1)l?122 =???(2l?1) l为自然数 ?0k?2l??8Um?(?1)l?111u(t)?2?sin?t?sin3?t?sin5?t???sin(2l?1)?t??? 2925??(2l?1)?Um=123V时
11 u(t)?100(sin?t?sin3?t?sin?t??)V
925各谐波分量有效值为
U1?100，U3?100，U5?100
252922总有效值
U?U12?U32???1001?1?1???71.2V 922522
4.2 求题4.2图所示半波整流电压的平均值和有效值。 解：半波整流电压在一个周期内可表示为
u2??Usintm??T u(t)???0??电压平均值
0?t?T2T?t?T2
OT/2Tt题4.2图1T1T2?U0??u(t)dt??2Umsintdt
T0T0T?UmT2?costT2?T0?2?Um??0.32Um
电压有效值
1U?T?T01u(t)dt?T2T20?T202Umsin22?tdt T2Um ?2T?(1?cosU4?t)dt?m?0.5Um T24.3 在题4.3图所示电路中，L=1H，R=100Ω， ui=20+100sinωt+70sin3ωt，基波频率为50Hz，求输出电压u0及电路消耗的功率。
解：电感对直流相当于短路，故输出电压中直流分量U0=20V，由分压公式得，u0中基波分量为
R100?100??U100?0???30.3??72.3?V 1mR?j?L100?j314?1L+ui-题4.3图+Ruo-
?1U0.303?电流中基波分量为 I1??1m???72.3?A R22三次谐波分量为
?? U3mR100?7070?0???7.4??83.9?V
R?j3?L100?j314?3??0.074??83.9?A I32 u0?20?30.3sin(?t?72.3?)?7.4sin(3?t?83.9?)V 电路消耗的功率为各谐波消耗的功率之和
P?P0?U1I1cos?1?U2I2cos?22021000.303700.074???cos72.3???cos83.9? 1002222?4?4.6?0.3?8.9W或为电阻R消耗的平均功率
?7.4?1202?30.3?1 P?P0?P1?P3???????100???100?8.9W 100??2??2?
4.4 在题4.4图所示电路中，US=4V，u(t)=3sin2tV，求电阻上的电压uR。
解：利用叠加定理求解较方便 直流电压源Us单独作用时 0.5H1F u?R?US?4V交流电压源u(t)单独作用时
+US-+1Ω+u(t)-22uR-XL??L?2?0.5?1?
XC?111??? ?C2?12题4.4图电阻与电感并联支路的等效阻抗为
R?JXLj2???45??
R?jXL1?j2???故 UR2?45?221?45??j22?32?0??3?45?V
?u?R?32sin(2t?45?)V
??uR?u?R?uR?4?32sin(2t?45?)V
4.5 在RLC串联电路中，已知R=10Ω，L=0.05H，C=22.5μF，电源电压为u(t)=60+180sinωt+60sin(3ωt+45°)+20sin(5ωt+18°),，基波频率为50HZ，试求电路中的电流、电源的功率及电路的功率因数。
解：RLC串联电路中，电容对直流相当于开路，故电流中直流分量为零。 对基波
XL??L?314?0.05?15.7?,XC?11??141.5? ?6?C314?22.5?10 Z1?R?j(XL?XC)?10?j(15.7?141.5)?126??85.3?? 基波电流的幅值相量为
I1?对三次谐波
180?0??1.43?85.3?A
126??85.3?XL?3?L?47.1?，XC?47.1?，Z3?10?
三次谐波电流的幅值相量为
I3?对五次谐波
60?45??6?45?A 10XL?5?L?78.5?，XC?28.2?
Z5?R?j(XL?XC)?10?j(78.5?28.2)?51.2?78.8?? 五次谐波电流的幅值相量为
I5?总电流为
20?18??0.39??60.8?A
51.2?78.8?i(t)?1.43sin(?t?85.3?)?6sin(3?t?45?)?0.39sin(5?t?60.8?)A
电源的功率
P?P1?P3?P5?I1U1cos?1?I3U3cos?3?I5U5cos?5
1?[1.43?180cos(?85.3?)?6?60cos0??0.39?20cos78.8?]?191W 2电路的无功功率
Q?Q1?Q3?Q5?I1U1sin?1?I3U3sin?3?I5U5sin?5
?1[1.43?180sin(?85.3?)?0?0.39?20sin78.8?]??124.4var 2功率因数
??PP?Q22?191191?12422?0.84
4.6 在题4.6图所示π型RC滤波电路中，ui为全波整流电压，基波频率为50HZ，如要求u0的二次谐波分量小于直流分量的0.1%，求R与C所需满足的关系。
解：全波整流电压为
Rui?2Um?221?cos2?t?cos4?t???315???V ?2Um+ui-?V
CC+uo-显然，u0中的直流分量与ui中的直流分量相等，为对二次谐波，其幅值为 U02m题4.6图1|4Um2?C??13?|R?|j2?C|j12?CR2?14?2C24Um4Um? 3?3?4?2R2C2?1按要求有
4Um3?4?2R2C2?1?0.1%?2Um?
4?2R2C2?1?即
RC?2000 32000?1.06
2?314?3