圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题
一、临阵磨枪
1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀
1.已知M（-3,0），N（3,0）PM?PN?6,则动点P的轨迹方程为 析：?MN?PM?PN ∴点P的轨迹一定是线段MN的延长线。
故所求轨迹方程是 y?0(x?3)
2.已知圆O的方程为x?y?2，圆O?的方程为x?y?8x?10?0，由动点P向两圆所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程为 析：∵圆O与圆O?外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为x?2
2222x2y2 3.已知椭圆2?2?1(a?b?0)，M是椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1ab的中点P的轨迹方程为
析：设P(x,y) M(x0,y0) 又F1(?c,0) 由中点坐标公式可得：
x0?c?x???x0?2x?cx2y2?2?? 又点M(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上 ?y?2yab?0?y?y0??21
∴x2y200(2x?c)24y2a2?b2?1(a?b?0) 因此中点P的轨迹方程为
a2?b2?1 4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定点，P是动点，若OP?OA??(AB?12BC),???0,???,则点P的轨迹一定过三角形ABC的 重 心。
析：设点D为BC的中点，显然有OP?????OA????????AP?
???AB??1???BC?????AB?????BD?????AD?
???AP?2?????AD?,???0,??? 故点P的轨迹是射线AD， 所以，轨
迹一定过三角形的重心。
三、大显身手
1、直接法
例1、设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，若BP?2PA,且OQ?AB?1,则P点的轨迹方程为 解：设A(a,0),B(0,b) 又P(x,y) 所以???BP??(x,y?b),??PA???(a?x,?y)
又BP?2PA, 所以??x?2(a?x)??y?b??2y??3?a?2x
??b?3y ?A(32x,0),B(0,3y)????AB??(?32x,3y)
而Q点与P点关于y轴对称，∴点Q的坐标为(?x,y) 即OQ?????(?x,y)
又OQ?AB?1 所以
32x2?3y2?1 这个方程即为所求轨迹方程。 变式1、已知两点M（-2,0），N（2,0），点P满足MN?MP?MN?NP?0,动点P的轨迹方程为
解:设P(x,y)则：MN?4,MP?(x?2)2?y2,????MN??(4,0),???NP??(x?2,y).
又MN?MP?MN?NP?0
?4(x?2)2?y2?4(x?2)?0 化简得所求轨迹方程为：y2??8x
2
2、定义法
例2、已知圆
22yA的方程为
M，M为圆O(x?3)?y?100，点B（-3,0）
上任意一点，BM的中垂线交AM于点P，求点
P的轨迹方程。
解：由题意知：MP?BP
PABOx?PB?PA?MP?PA?AM
又圆A的半径为10，所以 AM?10
?PA?PB?10
即点P的轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆 （椭圆与长轴所在的对称轴
x2y2??1(x??5) 的两交点除外）其轨迹方程为
2516x2y2变式2、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点为
abyPMF1,F2，P是椭圆上的任意一点，如果M是线段F1P的
中点，则动点M的轨迹方程是 F10F2x解：因为M是线段F1P的中点，连接OM，则
OM?11PF2 MF1?PF1 22由椭圆的定义知：
PF1?PF2?2a
MF1?MO?1(PF1?PF2)?a 2即点M到定点O、定点F1的距离和为定值a，故动点M的轨迹是以O、F1为焦点，
c4(x?)24y22以a为长轴的椭圆，其方程为?2?1 2ab（说明：此题也可以用代入法解决）
3、坐标转移法（代入法）
例3、从双曲线x?y?1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。
3
22解：设Q(x0,y0)则由
?x?y?x0?y0?0可得 N点坐标 ??x?y?2?0x0?y0?2?x??2 设P(x,y) ??x0?y0?2?y?2?由中点坐标公式可得：
3x0?y0?2?2x???2x0?3x?y?22 又点Q(x0,y0)在双曲线x2?y2?1上， ????x0?3y0?2?2y0?x?3y?2?2y?2?22所以 4x0?4y0?4 代入得(3x?y?2)?(x?3y?2)?4
22 化简得 (x?)?(y?)?1221221即为所求轨迹方程。 2变式3、自抛物线y2?2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R，求点R的轨迹方程。
解：设R(x,y),P(x0,y0) ∵抛物线的方程是y2?2x
11∴F(,0),Q(?,y0)
22所以 直线OP的方程是y0x?x0x?0 直线QF的方程是 y0x?y?1y0?0 2?2x?x??02x?12联立两方程得：? 又 y0?2x0
?2y?y0?2x?1??2y2?2x)?2() 化简得：2x2?y2?x?0即为所求轨迹方程。 所以 (2x?12x?14、参数法
y2?1，过点M（0,1）的直线l交椭圆 例4、设椭圆方程为x?42于A、B，点P满足OP?M旋转时，求：
111(OA?OB),点N(,)，当直线l绕点222 （1）动点P的轨迹方程； （2）NP的最大、最小值。
4
解：（1）设直线l的方程为y?kx?1代入椭圆方程得
(4?k2)x2?2kx?3?0
设A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1?x2??2k 24?k2k2?y1?y2?k(x1?x2)?2???2 24?k设动点P的坐标为(x,y)，由OP?1(OA?OB)可得 2x1?x2k?x????24?k2消去参数k即得所求轨迹方程为：4x2?y2?y?0 ?y?y24?y?1?24?k2?当斜率k不存在时，点P的坐标为（0,0）显然在轨迹上，
故动点P的轨迹方程为4x2?y2?y?0。
1（2）P点的轨迹方程可以化为16x2?4(y?)2?1
2111所以可设点P的坐标为(cos?,?sin?) 则
4221113112PN?(cos??)2?(sin?)2??cos2??cos??
42216423227 ??(cos??)?
16312所以 当cos???221时 PNmax? 当cos??1时 PN362min?1 4 变式4、过抛物线y?2x的顶点作互相垂直的两弦OA、OB.
(1) 求弦AB的中点的轨迹方程；（2）证明：直线AB与x轴的交点为定点。 解：（1）由题意知OA的斜率存在且不为零，设为k
则直线OA的方程为y?kx与抛物线y2?2x联立可得
点A的坐标为(22,) 同理可得点B的坐标为2kk(2k2,?2k) 设弦AB的中点为M（x,y）则
1?2x?k??k2 消去k得弦AB的中点的轨迹方程为 ?1?y??kk?5