y=－b(x－a)．1?a②(1?a)y由x－a≠0得 b＝－．x?a将②式代入①式得
(1+a)2y2(1?a)xy2y[1+]=[y－] ，
x?a(x?a)22整理得 y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0， 若y≠0，则(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0＜x＜a)；
若y＝0，则b=0，∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式．
综上得点C的轨迹方程为
(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0≤x＜a)．
(i)当a＝1时，轨迹方程化为 y2＝x(0≤x＜1)．③ 此时，方程③表示抛物线弧段； (ii)当a≠1时，轨迹方程为
a2(x?)21?a+y=1(0≤x＜a)．a2a2()1?a1?a2所以，当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段．
④
x2y218、已知椭圆2?2=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，
ab∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.
当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ， ∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|
又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).
|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.
x1?c?x?0??2 又??y?y10?2?得x1=2x0－c,y1=2y0.
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∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2. 故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)
19、已知⊙M：x2?(y?2)2?1,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
（1）如果|AB|?42，求直线MQ的方程； 3（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程. 解:（1）设Q(a,0)由|AB|?42，可得 3|MP|?|MA|2?(|AB|22221)?12?()?,由射影定理，得 233|MB|2?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3, 在Rt△MOQ中，
|OQ|?|MQ|2?|MO|2?32?22?5， 故a?5或a??5， 所以直线AB方程是
2x?5y?25?0或2x?5y?25?0; （2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由 点M，P，Q在一直线上，得
2y?2?,(*)由射影定理得|MB|2?|MP|?|MQ|, ?ax
即x2?(y?2)2?a2?4?1,(**) 把（*）及（**）消去a，并注意到y?2，可得
71x2?(y?)2?(y?2).
41620、 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，
两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，
故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
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=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，
故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程
x2y2?为=1(y≠0) 8172
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