y2?x?2
k 21?kk2(x?2k) 令y?0 得x?2 所以，其方程为y?2k?21?k 故直线AB与x轴的焦点为定点（2,0）
（2）直线AB的斜率为kAB?5、交轨法
xy2 例5、垂直于x轴的直线交双曲线2?2?1于M、N两点，A1,A2为双曲线的顶点，
ab求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状。
解：.解：(1)设M点的坐标为(x1,y1)，则N点坐标为(x1,－y1),又有A1(?a,0),A2(a,0)
则A1M的方程为：y=
y1(x?a) ① x1?aA2N的方程为：y=－
y1(x?a) ② x1?a22①×②得：y=－
2
y12x1?a(x2?a2)
22③
x1y1b222又因点M在双曲线上，故2?2?1,即y1?2(x1?a2).
abax2y2代入③并整理得2?2=1.此即为P的轨迹方程.
ab
变式5、设点A、B为抛物线y?2px(p?0)上除原点以外的两个动点，已知OA⊥OB, OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
2解:设OA=y=kx, 则OB:y??1x， k?2p2p?y?kx ?2 得A(2,) 同理 B(2pk2, -2pk)
kk??y?2px2p1?2pk?k1k kAB?k ?k??22p111?k22?2pk?k?k22kkk6
kk2pk32 AB:y?2pk? (x?2pk)?x?2221?k1?k1?kk2pk3k2pkk y?x?2pk??x??(x?2p)....① 222221?k1?k1?k1?k1?k1?k2x.....② 而op: y?kk?y?(x?2p).......(1)2?1?k?∵ M为AB与OM的交点，联立①②?
2?y??1?kx................(2)?k? (1)×(2)消去k, 222
y=-(x-2p)x, ∴ x+y-2px=0(x≠0)
即为所求.
四、享受战果
1、已知M(?2,0),N(2,0),PM?PN?4，则动点P的轨迹方程为 析:满足条件的点在线段MN上，故轨迹方程是y?0(?2?x?2)
2、经过抛物线y2?2px焦点的弦的中点的轨迹方程为
析：设过焦点的弦AB所在的直线方程为y?k(x?2p)代入抛物线方程消去y的 2p2k2p2222?0 k(x?)?2px?kx?p(k?2)x?24设A(x1,y1),B(x2,y2) AB的中点为M(x,y)
?x1?x2p(k2?2)x???2?2k则 ? 消去参数k得
y?yk2p2?y?1??(x1?x2)?p???22k? y2?p(x?22p) 这就是所求轨迹方程。 23、与圆x?y?4x?0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 析：若与圆x?y?4x?0外切，又与y轴相切的圆在y轴的左侧，
22则所求轨迹方程为y?0(x?0)
若与圆x2?y2?4x?0外切，又与y轴相切的圆在y轴的右侧
7
则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径2等于动圆圆心到y轴的距离， 故所求轨迹方程为y2?8x.
x2y2??1的左右顶点，P1,P2是垂直于长轴的弦的端点， 4、设A1,A2是椭圆则直线A1P194与A2P2的交点的轨迹方程为 解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0) ∵A1、P1、P共线，∴
y?y0y? x?x0x?3y?y0y? x?x0x?322∵A2、P2、P共线，∴
x0y093yx2y2??1,即??1 解得x0=,y0?,代入得xx9494
x2y2??1的焦点为F1,F2，A是椭圆上任意一点，过点F1向∠F1AF2的外 5、已知椭圆43角平分线作垂线于D，则点D的轨迹方程为
解：设F1D的延长线交直线F2A于P，
D(x,y),P(x1,y1)由椭圆的定义知：
PF2?AF1?AF2?2a=8 ∴(x1?1)2?y12?8 ①
x1?1?x???x1?2x?12又? 代入①得 ??y1y?2y?1?y?2? x2?y2?2(y?0)即为点D的轨迹方程。
6、过原点的双曲线以F（4,0）为一个焦点，且实轴长为2，则此双曲线的中心的轨迹方 程为
析：设双曲线的中心为P(x,y)，则双曲线的另一个焦点为F?(2x?4,2y)
又双曲线过原点，且实轴长为2，
8
所以 OF?OF??4 即4?(2x?4)2?4y2?4 化简得： (x?2)2?y2?16（x?6).
7、在?ABC中，已知B（-3,0），C(3,0),AD⊥BC于D, ?ABC的垂心H分AD所成的比为
1。（1）求点H和点A的轨迹方程；（2）设P（-1,0），Q8（1,0）那么
111能成等差数列吗？ ,,HPPQHQ解 (1)设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为
(x1,y1), 则D的坐标为(x1,0), 由H分有向线段
x?x11 ??AD所成的比为知?8 8y?y1?9?
yy又?BH?AC? ?1??1x?3x1?3
922 yxyy即??1(y?0),故?8??1, 98x?3x?3
此即点H的轨迹方程. 642?x?x12y1x28?x1 再将? 81 即1?y12?1,8代入上式,得??1,981y?y1? 989? x282故点A的轨迹方程为 9?81y?1(y?0).
111,,能成等差 (2)由(1)可知, P, Q分别为椭圆的左右焦点, 设H(x, y), 且
HPPQQH
1111数列, 则 2PQ?2,HP?3?x,HQ?3?x,故??,但 33PQHPHQ
211??,化简得x2?27
1123?x3?x
33
111y2x2故 ,,不可能成等差数列. 但此时?1??1?3?0,矛盾!HPPQQH89
x2y28、 已知直线l与椭圆 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别
a2b29
交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.
解： 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为 y?kx?m(k?0).22代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a y ? a 2b 2， 得 b2x2?a2(k2x2?2kmx?m2)?a2b2.
化简后，得关于的一元二次方程 (a2k2?b2)x2?2ka2mx?a2m2?a2b2?0.
于是其判别式 ??(2ka2m)2?4(a2k2?b2)(a2m2?a2b2)
?4a2b2(a2k2?b2?m2).
由已知，得△=0．即 a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 . ①
m 在直线方程y=kx+m中，分别令y=0，x=0，求得 R(?,0),S(0,m).k令顶点P的坐标为(x，y)，由已知，得 my??x??,k??,?? 解得kx????
?y?m.?m?y.代入①式并整理，得 22ab ?2?1,2xy
即为所求顶点P的轨迹方程.
9、动点P到直线x=1的距离与它到点A（4,0）的距离之比为2，则点P的轨迹方程 是
略解：由题意知：点P到点A（4,0）与它到直线x=1的距离之比为
1 2(x?4)2?y21? 设P(x,y)则
x?12化简得：3x?4y?30x?63?0
10、已知A（0,7），B（0，-7）C（12,2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的
另一焦点F的轨迹方程。
解：由题意得：AC?AF?BC?BF 而AC?13,BC?15
所以 AF?BF?2 故动点F的轨迹是分别以A、B为焦点，实轴为2的双曲线的下半
22x2?1(y??1) 支，其方程是 y?48211、已知圆O的方程x?y?4，若抛物线过点A(0，-1),B(0,1)，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点的轨迹方程。
解： 首先 设焦点为F（x,y）,准线（即圆的切线）为 L
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