A到L的距离为a， B到L的距离为b
那么 根据抛物线的性质 有 a=|AF| b=|BF| 于是 |AF|+|BF|=a+b
而a+b 恰是圆的直径(画个示意图 想想为什么) 既有 |AF|+|BF|=4
故 动焦点F的轨迹是分别以A,B为焦点的椭圆，而且半长轴是2
y2x2??1。 故所求轨迹方程是43 12、已知圆O的方程x2?y2?2，圆O?的方程x2?y2?8x?10?0，由动点P向圆O和圆O?所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程。
解:设由动点P向圆O和圆O?所引的的切线的切点分别为A、B，则由题意有： PA?PB, 即 PO?OA?222222P?O?2?O B 设P(x,y)
2则 x?y?2?(x?4)?y?6?x?3 即为动点P的轨迹方程。 2 13、已知抛物线y2?2px，过顶点的两弦OA、OB互相垂直，以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹方程。
2y12y2解：设A(,y1),B(,y2). 由OA⊥OB 可得
2p2pkOA?kOB?2p2p???1,?y1y2??4p2.…………..① y1y2可以求得，以OA为直径的圆的方程为：x(x?x1)?y(y?y1)?0.
y12 即 x(x?)?y(y?y1)?0.
2p2y2同理，以OB为直径的圆的方程为x(x?)?y(y?y2)?0.
2p设P(x0,y0)，点P为两圆交点，则
2y12y2x0(x0?)?y0(y0?y1)?0,x0(x0?)?y0(y0?y2)?0.
2p2pz2所以，y1,y2可以看作是关于z的方程x0(x0?)?y0(y0?z)?0的两根
2p11
22整理得x0z2?2py0z?2p(x0?y0)?0.
222p(x0?y0)由根与系数的关系，可知 y1y2??.
x0222结合①式，有 x0?y0?2px0 即 (x0?p)2?y0?p2 2所以 P的轨迹方程为 (x?p)?y2?p2(x?0 ).故 点P的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆（去掉原点）.
(另法)；解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y?kx?b（显然b?0） ∴
y?kxy?kx?1 则 y2?2px?1?2px? ?by2?2pxy?2pkx2（两边同时除以x2）bbyy?b()2?2p()?2pk?0 ∵OA⊥OB 则
xxy1y22pk???1?b??2pk. x1x2b代入直线AB的方程：y?k(x?2p)………..① ∵OP⊥AB ∴OP的方程为： y??1x………….② k2①、②式联立消去k，得到P的轨迹方程y??x(x?2p),(x?0)
当AB⊥x轴时，斜率k不存在，此时P点为AB中点，且在x轴上，坐标为(2p,0) 满足上面的方程，因此P点的轨迹方程为y??x(x?2p),(x?0).
14、已知三点N (0，?2?a),P (t,?2?a),F(0,a),其中a?0，动点M满足NP?PM?0 且PM?MF?2.
(1) 求动点M的轨迹方程；
(2) 过点F作直线与动点M的轨迹交于A、B两点，求?AOB的面积的最小值。 解：（1）∵动点M满足NP?PM?0，且PM?MF?2. ∴动点M的轨迹是以F(0,a)为焦点，以y??a为准线的抛物线。 所以点M的轨迹方程是x?4ay.
（2）显然直线AB的斜率存在设为k，则直线AB的方程为y?kx?a与抛物线方程联立消
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22去y得：x?4akx?4a?0 设A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1?x2?4ak,x1x2??4a2 而 S?AOB?2211ax1?x2?a(x1?x2)2?4x1x2?2a2k2?1 222 所以 当k?0时，?AOB面积的最小值为2a.
15、已知点Q位于直线x??3右侧，且到点F（-1,0）与直线x??3的距离之和为4. （1）求动点Q的轨迹C的方程；
（2）直线l过点M（1,0）且交曲线C于A、B两点，点P满足FP? EP?AB?0,求点E(x0,0)的横坐标x0的取值范围。 解：（1）设Q(x,y)(x??3)由题意有
1(FA?FB),且 2x?3?(x?1)2?y2?4?y2??4x,x???3,0?
∴动点Q的轨迹C为以F(?1,0)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线在直线x??3右侧 的部分.
（2）由题意可设直线l的方程为y?k(x?1)
?y2??4x设A(x1,y1),B(x2,y2) 由?可得
y?k(x?1)?2k2?4,xx kx?(4?2k)x?k?0,?x1?x2?1?21. 2k2222?(4?2k2)2?4k4?03?2由题意?(x1?3)(x2?3)?0 解之得 ?k?1.
4?(x?3)?(x?3)?02?1????1????????k2?22,?) 由 FP?(FA?FB)可知：点P为线段AB的中点， ?P(2k2k????????由EP?AB?0可知 EP⊥AB
22kx???1. 整理得??k??1022kk?2x0?k11∴x0的取值范围是(?,?3)
313
x2y2 16、设双曲线C1的方程为2?2?1(a?0,b?0)，
abA、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一
点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q.
（Ⅰ）求Q点的轨迹方程;
（Ⅱ）设（I）中所求轨迹为C2，C1、C2 的离心率分别为e1、e2，当e1?
（I）解法一：设P(x0,y0), Q(x ,y )
2时，e2的取值范围.
?A(?a,0),B(a,0),QB?PB,QA?PAy?y0??x?ax?a??1??(1)?0???y0?y??1??(2)??x0?ax?a2yy2 0由(1)?(2)得:2??1??(3)x0?a2x2?a2b2?2?2?1,?2?22abx0?aa代入(3)得b2y2?x2a2?a4即a2x2?b2y2?a4 经检验点(?a,0),(a,0)不合
因此Q点的轨迹方程为a2x2－b2y2=a4（除点（－a,0）,(a,0)外）
（I）解法二：设P(x0,y0), Q(x,y), ∵A(－a, 0), B(a , 0), QB⊥PB, QA⊥PA
x20y20y20y?y0??x?ax?a??1?(x?a)x?yy??ax?a2??(1)?0?00????2?y0?y??1??(x?a)x0?yy0?ax?a??(2)??x0?ax?a由(1)?(2)得2ax0??2ax?x0??x??(3)(x0?a)(x?a)(x?a)(x?a)x2?a2把(3)代入(2)解得:y0??????(4)yyy222222 把(3)(4)代入x0?y0?1得:x?(x?a)?122222
abayb?当x??a时,不合题意,?x2?a2?0?a2x2?b2y2?a4?Q点轨迹方程为a2x2?b2y2?a4(除点(?a,0),(a,0)外) （I）解法三：设P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA
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∴
y0y???1??（1）
x0?ax?a11|PQ|,|RB|?|PQ|22连接PQ，取PQ中点R
?PA?QA,QB?PB,?|RA|??|RA|?|RB|,?R点在y轴上x0?x?0,即x0??x??(2)2yy把(2)代入(1)得:202??1a?x2x0?a2?y0???(3)y?22x0y0x2(x2?a2)2把(2)(3)代入2?2?1,得2??1abay2b2?x??a时,不合题意,?x2?a2?0整理得:a2x2?b2y2?a4?Q点轨迹方程为a2x2?b2y2?a4(除去点(?a,0),(a,0)外)y2(II)解:由(I)得C2的方程为2?4?1aab2a422a?2aa212be??1??1??1?a2b2c2?a2e2?1?e1?22?e2?1?x2
1(2)?12?2?1?e?217、如右图，给出定点A(a，0)(a＞0)和直线l：x＝－1．B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．
依题意，记B(－1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得
|y|＝|y?bx|1?b2．①
依题设，点C在直线AB上，故有
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