第八章 静电场
?8.1 真空中有两个点电荷M、N，相互间作用力为F，当另一点电荷Q移近这两个点电荷时，M、N两点电荷之间的作用力? (A) 大小不变，方向改变． (B) 大小改变，方向不变．
(C) 大小和方向都不变． (D) 大小和方向都改． ［ C ］
8.2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：
? (A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．
? (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．
? (C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷． (D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零．
［ D ］
8.3有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为 (A) (C)
q3?0q3??0． (B) ． (D)
q4??0q6?0
［ D ］
a q a O a/2
8.4面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为 (A)
q2
?0Sq． (B)
22q22?0Sq2．
． ［ B ］
(C)
2?0S． (D)
?0S2
8.5一个带正电荷的质点，在电场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹如图所示．已知质点运动的速率是递增的，下面关于C点场强方向的四个图示中正确的是：［ D ］
8.6如图所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径的半圆弧，N点有正电荷＋q，M点有负电荷-q．今将一试验电荷＋q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功
(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 ,且为有限常量．
(C) A＝∞． (D) A＝0． ［ D ］
1
C-qMO+qNDP
8.7静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能． (B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．
(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［ C ］
8.8已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？
(A) 电场强度EM＜EN． (B) 电势UM＜UN．
(C) 电势能WM＜WN． (D) 电场力的功A＞0．
［ C ］
-qMN
A
8.9 电荷为＋q和－2q的两个点电荷分别置于x＝1 m和x＝－1 m处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？
解：设试验电荷置于x处所受合力为零，即该点场强为零．
q?2q??0 2分 224??0?x?1?4??0?x?1?得 x2－6x+1=0, x?3?22 m 因x?3?2点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得
?? x?3?22 m 3分
8.10 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度．
qL P??x O
L dq (L+d－x) Ｐ d dE
x d
解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为?=q / L，在x处取一电荷元dq = ?dx = qdx / L，它在P点的场强：
dqqdx? dE? 2分 224??0?L?d?x?4??0L?L?d?x? 2
总场强为 E?q4??0L?L(L?d－x)0dx2?q4??0d?L?d? 3分
方向沿x轴，即杆的延长线方向．
8.11 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．
+Q y dq y R O －Q x ??d??R O ??x 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷 dq = ?dl = 2Qd? / ?。它在O处产生场强
dE?dq4??0R2
?Q2??0RQ22d?
按?角变化，将dE分解成二个分量：
dEx?dEsin??2??0RQ2??0R?2222sin?d? cos?d?
dEy??dEcos???对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
Ex?Q2??0R22??/2??sin?d???0??sin?d??＝0 ?/2????/2?Q Ey?cos?d??cos?d????22??22?2??0R?0??R0?/2??????Qj 所以 ： E?Exi?Eyj?22??0R?Q
8.12 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为?=?0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．
y dq y ??d??R ??O
R O ??x x
3
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷dq = ?dl = 2Qd? / ?，它在O处产生场强
dE?dq4π?0R2?Q2π?0RQ2??0RQ2222d? 2分
按?角变化，将dE分解成二个分量：
dEx?dEsin??2sin?d?
cos?d? 3分
dEy??dEcos???2??0R?2对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
Ex?Q2??0R?Q22??/2nd????si??0?si?nd??＝0 2分 ??/2????/2?Q Ey? 2分 cos?d??cos?d????22??22?2??0R?0??R0?/2??????Q所以 E?Exi?Eyj?2j 1分 2??0R
8.13 真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为a，其电荷线密度分别为－?和＋?．试求：
(1) 在两直线构成的平面上，两线间任一点的电场强度(选Ox轴如图所示，两线的中点为原点)． (2) 两带电直线上单位长度之间的相互吸引力．
12??E1a/2E2Ox?? aO????-a/2xE
解：(1) 一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离ｒ处的场强为： E=? / (2??0r) 2分
根据上式及场强叠加原理得两直线间的场强为
?????11?? ? E?E1?E2?aa2??0????????x???x????2????2?2a? ?， 方向沿x轴的负方向 3分 22??0?a?4x? (2) 两直线间单位长度的相互吸引力
2
F=?E=? / (2??0a) 2分
8.14如图所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
4
dr ? O ?R E a O r
解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为
E=? / (2?0) 2分
以图中O点为圆心，取半径为r→r＋dr的环形面积，其电量为
dq = ?2?rdr 2分
它在距离平面为a的一点处产生的场强
?ardr dE? 2分
223/22?0?a?r?则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 E??a2?0R
?rdr0?a2?r2?3/2 ??1?2?0????aa?R22?? 2分 ??由题意,令E=? / (4?0)，得到R＝3a 2分
8.15真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1 m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为：
Ex=bx , Ey=0 , Ez=0．常量b＝1000 N/(C2m)．试求通过该高斯面的电通量．
y y a 1 E1 x 2 E2 O z a a a O a 2a x
解： 通过x＝a处平面1的电场强度通量：?1 = -E1 S1= -b a3 通过x = 2a处平面2的电场强度通量： ?2 = E2 S2 = ?b a3
其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为??=??1+??2 = ?b a3-b a3 = b a3 =1 N2m2/C
8.16图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： Ex＝bx，Ey＝0, Ez＝0． 高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C2m)．试求该
y 闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数?0＝8.85310-12 2-1-2C2N2m )
解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不 a 为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不O x 为零．由高斯定理得：-E1S1+ E2S2=Q / ?0 ( S1 = S2 =S ) 则 Q =??0S(E2- E1) =??0Sb(x2- x1) a a a z 23-12
= ?0ba(2a－a) =?0ba = 8.85310 C
?8.17实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100
?N/C；在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C．
? (1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均
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