-Q．设 (b- a) << a，L >> b，可以忽略边缘效应，求： (1) 圆柱形电容器的电容；
(2) 电容器贮存的能量．
ba
解：由题给条件 (b?a)??a和L??b，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两
筒之间的场强为： E?Q/(2??0?rLr) 3分
bL两筒间的电势差 U??2??aQdr?Lr0r?Q2??0?rLlnba 3分
电容器的电容 C?Q/U?(2??0?rL)/[ln(b/a)] 2分 电容器贮存的能量 W?12CU2?[Q/(4??0?rL)]ln(b/a) 2分
2
10.17如图所示，一空气平行板电容器，极板面积为S， 两极板之间距离为d，其中平行地放有一层厚度为t (t S td 解：设极板上的自由电荷面密度为?．应用D的高斯定理可得两极板之间的电位移为 D = ? 由D~E关系知，空气中的电场强度为 E0 = ? / ?0 介质中的电场强度为 E = ? / (?0?r) 2分 两极板之间的电势差为 ????d?t????rd??1??r?t? 2分 U = E0(d - t) + Et?t??0?0?r?0?r电容器的电容为 C? ?SU??0?rS?rd??1??r?t 1分 作法二： 看成二个电容串联， ?S??S C1?0， C2?0r 3分 d?tt?0?rSC1C2? C? 2分 C1?C2?rd??1??r?t 2 10.18 一平行板电容器的极板面积为S = 1 m，两极板夹着一块d = 5 mm厚的同样面积的玻璃板．已知玻璃的相对介电常量为?r = 5．电容器充电到电压U = 12 V以后切断电源．求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功．(真空介电常量??0 = 8.85310-12 C22N-12m-2 ) 解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功．抽出玻璃板前后的电容值 分别为 C?(?0?rS)/d，C??(?0S)/d 2分 26 撤电源后再抽玻璃板．板上电荷不变，但电压改变，即 Q?CU?C?U? ∴ U??(CU)/C???rU 2分 抽玻璃板前后电容器的能量分别为 W?1CU2?1(?0?rS/d)U ， 22 W??1C?U?2?1(?0?rS/d)U2 2分 22222外力作功 A?W??W?1(?0?rSU2/d)(?r?1) = 2.55310 J 2分 -6 10.19一空气平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，接到电源上以维持两极板间电势差U不变．今将两极板距离拉开到2d，试计算外力所作的功． 解：极板拉开前电容器的静电能量为 W1?极板拉开后的能量为 W2?121C1U2??0SU2d2 22分 1分 C2U?24d在电势差Ｕ不变下，极板上的电荷有变化， ?SU?SU?SU ?Q?Q2?Q1?C2U?C1U?0 ?0??02dd2d电荷变化过程电源作功A， A1?U?Q??2?0SU2分 ?0SU22d在拉开极板过程中，外力作功A2与电源作功A1之和，应等于电容器静电能的增量， A1+ A2 = ?W = W2 ?W1 1分 2分 所以 A2 = ?W - A1???0SU2/?4d???0SU2/?2d???0SU2/?4d? 2分 10.20一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．设极板之间电势差为U．试求在维持电势差U不变下将介质取出，外力需作功多少？ 解：在两极板之间电势差U不变下，有介质时电容器中的电场能量为 W1?取出介质后的电场能量为 W2?121C1UC2U2??121?0?r?0UUd22S S 2分 2分 222d在两极板之间电势差U不变下，由于电容值改变，极板上电荷发生变化 S ?q = q2 ?q1 = C2U ?C1U??0?1??r?U 2分 dS2电源作功 A2?U?q??0?1??r?U 2分 d设外力作功为A1，则根据功能原理， A1 +A2 = ?W = W2 ?W1 故外力作功 1S2 A1??W?A2???r?1??0U 2分 2d 27 第十一章 稳恒电流 11.1 室温下，铜导线内自由电子数密度为n = 8.531028 个/m3, 导线中电流密度的大小J = 62 2310 A/m，则电子定向漂移速率为： (A) 1.5310-4 m/s． (B) 1.5310-2 m/s． 25 (C) 5.4310 m/s． (D) 1.1310 m/s． ［ A ］ -4 参考解：J = neu , u = J/ ne = 1.47310 m/s 11.2 在一个长直圆柱形导体外面套一个与它共轴的导体长圆筒，两导体的电导率可以认为是无限大．在圆柱与圆筒之间充满电导率为? 的均匀导电物质，当在圆柱与圆筒间加上一定电压时，在长度为l的一段导体上总的径向电流为I，如图所示．则在柱与筒之间与轴线的距离为r的点的电场强度为： 2?rII (A) 2． (B) ． l?2?rl?(C) Il2?r?2． (D) I?2?rl． ［ B ］ 参考解： J = ?E J = I / (2?rl) ∴ E = I / (2?rl?) 11.3 已知直径为0.02 m、长为 0.1 m的圆柱形导线中通有稳恒电流，在60秒钟内导线放 出的热量为 100 J．已知导线的电导率为 63107 ?-12m-1，则导线中的电场强度为： (A) 2.78310-13 V2m-1． (B) 10-13 V2m-1． (C) 2.97310-2 V2m-1． (D) 3.18 V2m-1． ［ C ］ 参考解： E?w??Q?rl?t??2?2.97?10?2 V2m-1 11.4 在如图所示的电路中，两电源的电动势分别为?1，?2，内阻分别为r1，r2．三个负载电阻阻值分别为R1，R2，R，电流分别为I1，I2，I3，方向如 图．则A到Ｂ的电势增量UB - UA为： R I3 I2 I1 (A) ?2??1?I1R1?I2R2?I3R． ?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)?I3R． A R 1 ?1 ?2 R2 (C) ?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)． (B) B (D) ?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)． ［ C ］ 11.5在图示的电路中，电源的电动势分别为?1、?2和?3，内阻分别是r1、r2和r3，外电阻分 别为R1、R2和R3，电流分别为I1、I2和I3，方向如图．下列各式中正确的是 (A) ?3??1?I1(R1?r1)?I3(R3?r3)?0 (B) I1?I2?I3?0 28 (C) ?2??1?I1(R1?r2)?I2(R2?r2)?0 (D) ?2??3?I2(R2?r2)?I3(R3?r3)?0 ［ A ］ ?1, r1 I1 R1 I2 ?2, r2 ?3, r3 R2 I3 R3 计算题 11.6在一由电动势恒定的直流电源供电的载流导线表面某处带有正电荷，已知其电荷面密度 ?为??0，在该处导线表面内侧的电流密度为J，其方向沿导线表面切线方向，如图所示．导 ?线的电导率为?，求在该处导线外侧的电场强度E． ??0?J 解：规定在导线内侧和导线外侧各物理量分别用角标1，2区分．由高斯定理可求得导线表面电场强度的垂直分量 Ey??0/?0 1分 由边界条件和欧姆定律可求得导线外侧电场强度的平行分量 Ex?J/? 2分 则导线外侧电场强度的大小 E2?E2y?E2x??0?202?J22? 1分 ?Ey???1?0??0, ??tg 1分 E2的方向： tg??Ex?0J?0J 11.7在如图所示的电路中，两电源的电动势分别为?1 = 9 V和?2 = 7 V内阻分别为r1 = 3 ?和r2 = 1 ?，电阻R = 8 ?，求电阻R两端的电位差． I1?1,r1?2,r2R?1,r1I2?2,r2RI3 解：设各支路的电流为I1、I2和I3，如图． 图1分 29 ??1?I1r1?I3R?0 ① I1?I2?I3?0 ② ?2?I2r2?I3R?0 ③ 3分 由①、②、③三式联立解得： ?1r2??2r1 I3???0.343 A 3分 Rr1?r1r2?Rr2 U?|I3|R?2.74 V 1分 11.8在如图所示的电路中，已知，R1?R3?R4?R5?2?，R2?6?，?1?6V，。各电池的内阻均可忽略。求： ?2?2V， 1）、[4分]、当开关K打开时，求电路中B、C两点间的电位差UBC； 2）、[8分]、当开关K闭合后，若已知此时A、B两点的电位相等，求电阻R。 解：1）、开关打开时，闭和回路中的电流为：I??2R1?R2?R3?R4?16A，（顺时针流动） 在B、C两点间取一段电路，如下左图，根据一段含源电路的欧姆定律得： UBC?VB?VC?I(R4?R2?R1)?(??1)?233V 2）、K闭和后，设三个支路中电流分别为I1，I2和I3，其参考方向如上右图表示。 因为A、B两点电势相等，则根据一段含源电路的欧姆定律得： UAB??I1R2?I2R4?0, UAB?I1R1?I2R2?(?2)?0 30 代入数值后：6I1?2I2?0，2I1?2I2?2。解得I1??又因为：I2?I1?I3，所以：I3?2A 。 12A，I2?32A。 再根据一段含源电路的欧姆定律得：UDC?I1(R2?R1)?(??1)??4?6?2V 所以：R?UDCI3?1? 11.9利用下图所示电路可以测量待测电动势?x. 图中G为电流计，D为滑线变阻器，?0为工作电源的电动势且?0 > ?x．说明如何操作, 并需要知道什么数据才能得到测量结果. C Rg r G I F M H E A I′ D I0 R0 ?0 B K ?x 答：调节滑线电阻的滑动头M，使电流计G指示为零、即达到I = 0． 2分 设这时FM间的电阻为Rx，则由含源电路欧姆定律得 ?x = I0Rx 若I0和Rx已知，则由上式可确定待测电动势?x． 3分 31