? ????0?r1?r2? 3分
＝8.85310-9 C / m2 2分
U0?0r1?r2 (2) 设外球面上放电后电荷面密度为??，则应有
1????r1???r2?= 0 U0?0即 ????外球面上应变成带负电，共应放掉电荷
?r1?22?1? q??4?r2???????4?r2?? ??r2?? ?4??r2?r1?r2??4??0U0r2＝6.67310-9 C 3分
8.26一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d．接上电源后，A板电势UA=V，B板电势UB=0．现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极板的中间位置，如图所示,试求导体片C的电势．
A Ad/2 dd/2 q C B Vr1r2? 2分
d/2 E1 E1 E2 C E2 B d/2
解：未插导体片时，极板A、B间场强为：
E1=V / d 2分
插入带电荷q的导体片后，电荷q在C、B间产生的场强为：
E2=q / (2?0S) 2分
则C、B间合场强为： E＝E1＋E2＝(V / d)＋q / (2?0S) 2分
因而C板电势为： U＝Ed / 2＝[V＋qd / (2?0S)] / 2 2分
8.27如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．
R ?? O dx O R r0 x r0+l
q x r0 l
解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dq???dx，该线
11
元在带电球面的电场中所受电场力为：
dF = q?dx / (4??0 x2) 3分
整个细线所受电场力为：
r?ldxq?q?l F???x24??r?r?l? 2分 4??0r00000方向沿x正方向．
电荷元在球面电荷电场中具有电势能：
dW = (q?dx) / (4??0 x) 3分
整个线电荷在电场中具有电势能：
W?q?4??0?r0?lr0dxx??r0?lln?4??0??r0q??? 2分 ??
8.28一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5310-4 m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5310-3 m的同轴圆筒形阳极B，如图所示．阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e＝1.6310-19 C)
B A R1 R2 解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为?．按高斯定理有 2?rE = ?/ ?0
得到 E= ? / (2??0r) (R1＜r＜R2) 2分
方向沿半径指向轴线．两极之间电势差
B?RdrR2?????ln UA?UB??E?dr?? 2分 ?AR2??0R12??0r21得到
?2??0?UB?UAln?R2/R1?， 所以 E?UB?UAln?R2/R1?r1?1 2分
在阴极表面处电子受电场力的大小为
F?eE?R1??eUB?UAc?R2/R1?R1? 2分
＝4.37310-14 N 2分
方向沿半径指向阳极．
5.29 在强度的大小为E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)．槽的质量为M，一质量为m带有电荷＋q的小球从槽的顶点A处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求： (1) 小球由顶点A滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度； (2) 小球通过B点时，槽相对地面的速度；
(3) 小球通过B点后，能不能再上升到右端最高点C？
12
?E A m,q M B C ?E
解：设小球滑到B点时相对地的速度为v，槽相对地的速度为V．小球从A→B过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒，
mv＋MV＝0 ① 2分
对该系统，由动能定理 mgR－EqR＝①、②两式联立解出 v?12mv2＋
12MV2 ② 3分
2MR?mg?qEm?M?m?mvM? 2分
方向水平向右．
V????2mR?mg?qEM?M?m?? 1分
方向水平向左． 1分 小球通过B点后，可以到达C点． 1分
?8.30如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R>>电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功．
RA?pB
解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势
??3 U?p?r/?4??0r? 2分 式中r为从电偶极子中心到场点的矢径．于是知A、B两点电势分别为
2 UA??p/?4??0R?
?2 UB?p/?4??0R? ?p?p?
q从A移到B电场力作功(与路径无关)为
2 A?q?UA?UB???qp/?2??0R? 3分
8.31已知某静电场的电势函数U??x?y分量值．
解：由场强与电势梯度的关系式得
Ex?? Ey?? Ez??
22??lnx (SI)．求点(4，3，0)处的电场强度各
?U?x?U=-1000 V/m 3分 ?0 1分
?0 1分
?y?U?z13
8.32如图所示，一半径为R的圆环，其上无规则地分布着电荷，已知总电荷为q．试求圆环轴线上距离圆心O为x的P点处的电场强度的x分量．
RO xqP x
解：在圆环上的电荷不论如何分布，所有电荷与P点距离均相同，故P点电势
q为 U? 3分 12224??0?R?x?则P点的场强的x分量为 Ex??dUdx?qx4??0?R?x22
?3/2 2分
8.33 “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为?，试求轴线上一点的电场强度．
解:设坐标系如图所示．将半圆柱面划分成许多窄条．dl宽的窄条的电荷线密度为
??dl?d? d???R?取?位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为
d?? dE??d? 22??0R2??0R如图所示. 它在x、y轴上的二个分量为： dEx=dE sin? , dEy=－dE cos? ???对各分量分别积分 Ex? sin?d??22?02??0R??0R Ey???2??02?R?0cos?d??0 2分
???场强 E?Exi?Eyj????0R2?i 1分
y dl R d? ??dEx ???dEy ??x dE
8.34一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： ??= ?0cos ???，式中??为半径R与x轴所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强．
14
z dE dEx O y R d? x O ?? x R dEy y ??
解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为
? = ?0cos? Rd?， 它在O点产生的场强为：
?0??cos?d? 3分 dE?2??02??0R它沿x、y轴上的二个分量为：
dEx=－dEcos? =? dEy=－dEsin? =
?02??02cos?d? 1分
?0sin?cos?d? 1分 2??02???20cos?d?＝0 2分 积分： Ex???02??02?0 Ey???2??02??00si?nd(s?i)n?0 2分
????∴ E?Exi??0i 1分
2?0
8.35一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
??qrπR4 (r≤R) (q为一正的常量)
??= 0 (r>R)
试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势． 解：(1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为
2434
dq = ?dV = qr 4?rdr/(?R) = 4qrdr/R
则球体所带的总电荷为 Q?1?V?dV??4q/Rr14??r0rdr?q 3分
qr1443 (2) 在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有
4?rE1?21?024?qr?R40?4?rdr?2?0R
得 E1?qr14??0R? (r1≤R)，E1方向沿半径向外． 2分
2 在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有 4?r2E2?q/?0?
15