-6-6-6
9.10三个电容器如图联接，其中C1 = 10310 F，C2 = 5310 F，C3 = 4310 F，当A、B间电压U =100 V时，试求：
(1) A、B之间的电容；
(2) 当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？
AUBC1C2C3
解：(1) C?(C1?C2)C3C1?C2?C3? 3.16310 F
-6
(2) C1上电压升到U = 100 V，电荷增加到Q1?C1U?1310-3 C
第十章 静电场中的电介质
?10.1 关于D的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ ? (A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零． ? (B) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷． ? (C) 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关．
(D) 以上说法都不正确． ［ C ］
10.2一导体球外充满相对介电常量为?r的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度?为
(A) ??0 E． (B) ??0 ??r E．
(C) ??r E． (D) (??0 ??r -???0)E． ［ B ］
10.3 一平行板电容器中充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化
电荷面密度为±?′，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：
???? (A) ． (B) ．
?0?0?r (C)
??2?0． (D)
???r． ［ A ］
10.4一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度
??为E0，电位移为D0，而当两极板间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质时，电场
??强度为E，电位移为D，则
???????? (A) E?E0/?r，D?D0． (B) E?E0，D??rD0．
????????(C) E?E0/?r，D?D0/?r． (D) E?E0，D?D0． ［ B ］
21
10.5如图所示, 一球形导体，带有电荷q，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将
(A) 增大． (B) 减小．
(C) 不变． (D) 如何变化无法确定． ［ B ］
q
10.6将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源．再将一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如图所示. 则由于介质板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：
(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关． (B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关． (C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关． (D) 储能增加，且与介质板相对极板的位置有关． ［ A ］
介质板
???10.7静电场中，关系式 D??0E?P
(A) 只适用于各向同性线性电介质． (B) 只适用于均匀电介质． (C) 适用于线性电介质．
(D) 适用于任何电介质． ［ D ］
10.8一半径为R的带电介质球体，相对介电常量为?r，电荷体密度分布? = k / r。 (k为已知常量)，试求球体内、外的电位移和场强分布．
解：取半径为r?→r?+dr?的薄壳层，其中包含电荷
2 dq??dV??k/r??4πr?dr??4πkr?dr?
?应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面．
球内： 4πrD1?4πk?r?dr??2πkr
02r2? D1 = k / 2 ，?D1?D1rR? 为径向单位矢量) (r?? E1 = D1 / (?0?r) = k / (2??0?r)， E1?E1r220??? D2?kR/2r , D2?D2r ?22? E2?D2/?0?kR/?2?0r?，?E2?E2r2球外： 4πrD2?4πk?r?dr??2πkR
?2?
10.9半径为R的介质球，相对介电常量为?r、其体电荷密度?＝?0(1－r / R)，式中?0为常量，
22
r是球心到球内某点的距离．试求：
(1) 介质球内的电位移和场强分布． (2) 在半径r多大处场强最大？
解：(1) 取半径为r?→r?＋dr?的薄壳层，其中包含电荷
dq??dV??0?1?r?/R?4?r?2dr??4??0?r?2?r?3/R?dr? ?应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面．
4?rD?4??0?则：
2?rr D??0??3?4R?2r04?r3?2r?3?r?r???dr??4??0?????4RR??3??? ??
???， D?Dr? ??2E?D/??0?r??????，E?Er? 为径向单位矢量 ?? ，r??0?r?34R???0?rrr????0
dr?0?r?32R?得 r = 2R / 3 且因d2E / d r2 <0， ∴ r = 2R / 3 处E最大．
10.10一平行板电容器，极板间距离为10 cm，其间有一半充以相对介电常量?r＝10的各向
(2) 对E(r)求极值
dE??0?1?同性均匀电介质，其余部分为空气，如图所示．当两极间电势差为100 V时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量. (真空介电常量?0＝8.85310-12 C22N-12m-2)
??r
????解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为D1、D2和E1、E2，则 U = E1d = E2d (1) D1 = ?0E1 (2)
D2 = ?0?rE2 (3) 联立解得 E1?E2?Ud?1000 V/m
?92 D1??0E1?8.85?10C/m ?82 D2??0?rE2?8.85?10C/m
方向均相同,由正极板垂直指向负极板．
+?E2?E1U -
10.11 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度?＝1.77310-6 C/m2．将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为?r＝8 的各向同性均匀电介质板．计算
???电介质中的电位移D．场强E和电极化强度P的大小．(真空介电常量?0＝8.85310-12 C2 / N2m2)
23
?解：由D的高斯定理求得电位移的大小为
-62
D = ??＝1.77310 C/m
???由D=?0?rE的关系式得到场强E的大小为
E?D?0?r＝2.53104 V/m
介质中的电极化强度的大小为
-62
P = ?0?eE = ?0 ( ?r?1 )E＝1.55310 C/m
10.12 一导体球带电荷Q＝1.0 C，放在相对介电常量为?r＝5 的无限大各向同性均匀电介质中．求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q'．
解：导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．在球表面外附近，以球半径R作
?一同心高斯球面．按D的高斯定理有 4?R2D = Q。得到电位移的大小为 D = Q / (4?R2) 该处的电场强度大小为 E = D / (?0?r)= Q / (4??0?r R2)
???1?Q电极化强度的大小为 P = ?0 (?r?1)E?r 24?rR极化电荷面密度为 ??= Pcos180°?分界面上的束缚电荷为 Q?= 4?R2???
?1??r?Q4??rR2
1??r?rQ＝－0.8 C
?10.13半径为R，厚度为h (< ?所示．求极化电荷在盘中心产生的电场强度E． yRdqd?x h ?O P R OP?dE?? 解：建坐标如图． 圆盘均匀极化，只有极化面电荷，盘边缘处极化电荷面密度为 ? = Pcos? dq = Rd?2h2?＝RhPcos?d? dE = (dq) / (4??0R2) dEx = dEcos(?+?)，dEy = dEsin(?+?) 由极化电荷分布的对称性可知 Ey?∴ E?Ex??dEy= 0 RhP2?dEx???dq24??0R?E??cos???h4?0R4??0R?P ?2?0cos?d???2hP4?0R 10.14一各向同性均匀电介质球，半径为R，其相对介电常量为?r，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为??0．求球内的束缚电荷体密度???和球表面上的束缚电荷面密度?'． 24 rROr+dr??V 解：∵介质是球对称的，且?0均匀分布，∴ ?'，?' 也必为球对称分布．因而电场必为球对 ?称分布．用D的高斯定理可求得 ?????0??0rD D?， E??r ?0?r3?0?r3????? P??0?eE?e0r 3?r??22P?dS??P?4?r?dr?Pr?4?r?Sr?dr ???? ??24?r?dr?V?e?0??32?4??r?dr??e0r?4?r3?r3?r ?? 24?r?dr略去dr的高次项，则 ??e?0???1??????r?0 (??与?0异号) ?r?r??PR????PR?n? ?e?03?rR???r?1??03?rR, ??与?0同号． 10.15如图所示，一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满介电常量按 ? = ?0 (1+ xd)规律变化的电介质．在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容． S ? 解：设两极板上分别带自由电荷面密度±?，则介质中的电场强度分布为 ??d? E? 1分 ??0?d?x?两极板之间的电势差为 U?O dx?d0Edx??d?0?ddxd?x0??d?0ln2 2分 该电容器的电容值为 C? ?SU??0Sdln2 2分 10.16如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，中间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．内、外筒分别带有等量异号电荷+Q和 25