夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率
3?3?9·?5?2·B．C119·?8??8?8 ?5?9·?3?2 C．C119·?8??8??3?9·?5?2 D．C119·?8??8?
[答案] B
3
[解析] 从口袋中任取一球，取到红球的概率为.重复进行了ξ次取球试验，其中红球恰
8
好取到了10次，ξ＝12即进行了12次试验，其中前11次试验中出现了9次红球，第12次试验结果为红球，
?3?9×?5?2×3. ∴P(ξ＝12)＝C119·?8??8?8
10．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：
??－1 第n次摸取红球an＝?，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )
?1 第n次摸取白球?
1?2?2?5
A．C75??3?·?3?
2?2?1?5
B．C72??3?·?3?
1?2?2?5
C．C75??3?·?3?
1?2?2?5
D．C73??3?·?3? [答案] B
[分析] 关键是弄清S7＝3的含义：S7＝a1＋a2＋?＋a7，而ai的取值只有1和－1，故S7＝3表示在ai的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．
[解析] S7＝a1＋a2＋?＋a7＝3表示七次取球试验中，有2次取到红球，而一次取球中，
2
取到红球的概率P1＝，
3
2?2?1?5
∴所求概率为P＝C72??3?·?3?. 二、填空题 11．(2010·山东枣庄模拟)设随机变量X～B(n,0.5)，且D(X)＝2，则事件“X＝1”的概率为________(用数字作答)
1
[答案]
32
[解析] ∵X～B(n,0.5)，∴D(X)＝n×0.5×(1－0.5)＝2，∴n＝8.∴事件“X＝1”的概率
1－
为P(X＝1)＝C81×0.5×0.581＝. 32
12．为了了解学生的体能素质，随机抽取一小组进行体能检测，要求每位学生长跑、跳远至少通过一项才算合格，已知通过长跑测试的有2人，通过跳远测试的有5人，现从中选
7
2人，设ξ为选出的人中既通过长跑测试又通过跳远测试的人数，且P(ξ>0)＝，则该小组
10
有______人．
[答案] 5
- 37 -
夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率
[解析] 设该小组共有x人，其中既通过长跑测试又通过跳远测试的有y人，则 CC－＋C7??P?ξ>0?＝yxy2y＝
Cx10 ?
???2－y?＋y＋?5－y?＝x
112
解得x＝5或x＝(舍去)．
37
所以该小组一共有5人．
13．在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为________．
1
[答案] 2
[解析] 设第一次抽到理科题为事件A，第二次抽到理科题为事件B，则两次都抽到理科题为事件A∩B，
33
∴P(A)＝，P(A∩B)＝，
510P?A∩B?1
∴P(B|A)＝＝. 2P?A?
[点评] 由于是不放回抽样，故在第一次抽到理科题条件下，相当于有2道理科题和2
1
道文科题，从中抽一道，抽到理科题的概率为多少，故为P＝. 2
14．(2010·上海大同中学模考)一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球，现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的，用ξ表示摸出的黑球数，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.
3
[答案] 2
C33C301
[解析] P(ξ＝0)＝＝，
C6320
21C3C39C31C329
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
C6320C632003C3C31
P(ξ＝3)＝， 3＝C620
19913
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
202020202
三、解答题 15．(2010·温州十校)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．
(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；
(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．
C32C213
[解析] (1)从袋子里一次取出3个球，得4分的概率为P＝＝.
C535
3?2932121
(2)依题意，ξ的可能取值为2,3,4.P(ξ＝2)＝?＝，P(ξ＝3)＝C××＝，P(ξ＝4)2
?5?255525
2?24＝??5?＝25，
故ξ的分布列为
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1
1
2
夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率 2 3 4 9124P 252525912414故ξ的数学期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.
2525255
[点评] 取球问题是随机变量的常见题型，要注意球有无颜色限制，摸球的方法，终止摸球的条件，记分方法等等附加了哪些限制条件，请再练习下列两题：
1°口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则换成对方进行下一次摸球；②每一次摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球．求在前三次的摸球中：
(1)乙恰好摸到一次红球的概率； (2)甲至少摸到一次红球的概率；
(3)甲摸到红球的次数ξ的分布列及数学期望．
[解析] 记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B，则
41－－2
P(A)＝P(B)＝＝，P(A)＝P(B)＝，且事件A，B相互独立．
34＋83
(1)在前三次摸球中，乙恰好摸到一次红球的概率为
－－－
P′＝P(AAB)＋P(ABB) 1212122＝××＋××＝. 3333339
(2)因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为
－－－－P1＝P(A·B)＋P(A·B·A) 212?314＝×＋?＝， 33?3?27
所以甲至少摸到一次红球的概率为
1413
P2＝1－P1＝1－＝. 2727
(3)根据题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则
－－－－
P(ξ＝0)＝P(A·B)＝P(A·B·A) 212?314＝×＋?＝， 33?3?27
－－－
P(ξ＝1)＝P(A·A)＝P(A·B·A) 122?2110＝×＋?×＝， 33?3?327
－?1?222
P(ξ＝2)＝P(A·A·A)＝?3?×＝，
3271?31
P(ξ＝3)＝P(A·A·A)＝??3?＝27. 故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 141021P 2727272714102117数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2727272727
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ξ 夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率
2°袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m个，3号球有n个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2
1
号球的概率是.
3
(1)求m，n的值；
(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
[解析] (1)记“第一次摸出3号球”为事件A，“第二次摸出2号球”为事件B，则P(B|A)m1＝＝， 93
∴m＝3，n＝10－3－1＝6. (2)ξ的可能的取值为3,4,5,6.
1·C61＋C3211·C311
P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
C10215C1025112C3C62C61
P(ξ＝5)＝＝. 2＝，P(ξ＝6)＝C105C1023ξ的分布列为
ξ 3 4 5 6 1121P 155531121E(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.
15553
16．(2010·广东理，17)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，?，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
(3)从该流水线上任取5件产品、求恰有2件产品的重量超过505克的概率． [解析] (1)重量超过505克的产品数量是 40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件． (2)Y的分布列为
Y 0 1 2 211C28C28C12C122P C402C402C402(3)从流水线上取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克的概率是
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夷陵中学2012届高三第一轮复习数学同步练习 概率
28×27×2612×11
×
3×2×12×121×11231C283C122
＝＝. 5＝C4040×39×38×37×3637×19703
5×4×3×2×1
17．一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇到红
1
灯是相互独立的，且首末两个岗遇到红灯的概率为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为.
2
2
(1)若p＝，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；
3
5
(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过，求p的取值范围．
18
[解析] (1)记“该学生在第i个交通岗遇到红灯”为事件Ai(i＝1,2，?，5)，
2111－－
1－?×?1－?×＝. 则P(A1A2A3)＝??3??2?212
1
即该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为.
12
(2)“该学生至多遇到一次红灯”指“没有遇到红灯(记为A)或恰好遇到一次红灯(记为B)”，
?1－1?3＝1(1－p)2， P(A)＝(1－p)2·?2?8
11131
1－?2×＋C21p(1－p)×?1－?3＝(1－p)2＋p(1－p)． P(B)＝(1－p)2·C31??2?2?2?84
1315
由(1－p)2＋(1－p)2＋p(1－p)≤得， 8841818
≤p≤，又0≤p≤1，且p＝1时，首末两个交通岗都必遇到红灯，不合题意，所以p33
?1?的取值范围是?，1?. ?3?
第10章 第9节
一、选择题 1．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200 C．300 D．400 [答案] B
[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000，0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.
2．设随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 －1
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