无越流含水层中完整井流分析
学号：09201030108 姓名：黄 安建工
摘要：潜水完整井流方程的假定条件以及推导过程比承压完整井流要复杂，在
忽略垂直补偿、排泄以及假定含水层均质、各向同性、等厚、水平分布等一些苛刻的条件下推导出。无越流承压完整井流轴对称微分方程是最简单的一种，而后通过潜水井流与承压井流之间的对应关系并假定满足裘布依假定而忽视其他方面差异条件推导出潜水完整微分方程。通过微分方程的解以及结合实际的边界条件分析各因素对水头下降的影响，这对实际试验是有指导意义的。
关键词：无越流；承压完整井流；潜水完整井流；裘布依假定；博尔兹门变换
法；
一、 无越流承压完整井流方程的推导
假定条件：（1）含水层是均质、各向同性的、等厚且水平分布，水合含水层均假设为弹性体；（2）无垂向补给、排泄，即W?0；（3）渗流满足达西定律；（4）完整井，假设流量沿井壁均匀流水；（5）水头下降引起地下水从储蓄中的释放是瞬间完成的；（6）抽水前水头面是水平的；（7）井径五项小且定流量抽水；（8）含水层侧向无限延伸。
由假定（1）～（5）可得到承压井流的基本微分方程(1)
??H??r2 ????1?H??H?? ?0?r??,t?0? (1) ?r?r??t水是连续体，水在孔隙介质中运动的特性微分方程刻画出来，当然这要满足水是可压缩的，介质在垂直方向可压缩，但在水平方向不可变形这一假定。 取x,y,z分别平行于各向异性岩层渗透系数主方向，取△x△y△z为均衡体。
则沿x方向的净流入量为
????
x??x,y,z,t?????x??x??x,y,z,t???y?z?t
(?vx)|(x,y,z,t)(?vx)|(x??x,y,z,t) 同理沿y,z方向也是一样，则均衡体的净流入质量?m为
?(?vx)|(x,y,z,t)?(?vx)|(x??x,y,z,t)????x???(?vy)|(x,y,z,t)?(?vy)|(x,y??y,z,t)?????x?y?z?t?y???(?v)|?(?vz)|(x,y,z??z,t)?z(x,y,z,t)????z??
(2)
由于均衡体内的水质量变化可表示为
?m?(?n?x?y?z)(x,y,z,t??t)?(?n?x?y?z)(x,y,z,t) (3) 则（2）与（3）式相等，经变换可得出地下水运动连续性方程
??(?vx)?(?vy)?(?vz)??(?n?z)?????x?y?z??x?y??x?y?z??t ?
（4）由假定（1）~（3）可知，水和介质的变形符合胡克定律方程（4）右端
???z??可化为?t?1?e?e??z?，由土力学可知
1?e??t?z1?e?z1?e??t??n?z? 均衡体固体厚度，为一定值，所以
???t?(?n?z)
?t?(?e)?(??e?t?e) （5）
根据根据?e?pd?dp??(1?e)和dp??dH,得???和dp??dH,得???t?e?t???e?p?p?t??(1?e)??H?t?H?t???p?p?t????
则将上式代入
??t??n?z? ，得
?z1?e?H?t?H?t?(?n?z)?t?[??(1?e)??e???] 由达西定律 ?x??Kxx???x??z??(??n?)?H?t
?H?x?H?x
)??[???xKxx?H?x????x(Kxx?H?x)?????x(Kxx?H?x)
(?Kxx
其他方向也可作此处理，处理后经转化得出
?(Kxx?H?x)???y(Kyy?H?y)???z(Kzz?H?z)??(??n?)?H?t ?x （6）
定义?s??（??n?)则（6）式可改为
???H????H????H??H??K?K???Kxx????zzs?yy??x??x??x??y??x??z??t （7）
由于假定含水层为均质、等厚、各向同性承压轴对称流，设T=KM,?e??sM 则
??2H1?H??H?T????e??r2r?r??t??
若记
a?T 则又化为
?e
??2H1?H??H??a????r2?r?r?t??
（8）
到此得到承压完整井流微分方程得出，加上（6）、（7) 、(8)的初始条件和边界条件得到承压井流定解问题，表示如下
???2H1?H??H???? ?0?r??,t?0????2?r?r??t???r?H?r,0??H ?0?r???0??H??,t??H0 ?t?0???H?lim2?rT?Q(常量) ?t?0?r?0?r?
二、 博尔兹门变换
对于承压井流的定解问题利用博尔兹门变换法求解，此法是1984年博尔兹门提出的，引入一个二元函数
r2 则
?u?u?4at
r2at2
?r?ur??1?u??2????t4a?t?t （*)
H是u的函数，而u又是r和t的函数，依复合函数求
?H?r?dH?udu?r?dHr导法则，有
du2at （**）
?2H??H???dHr??r2???r???r????r??du2at???dH1du2at?r??dH?
2at?r??du???1dH
2atdu?rd?dH?2atdu??du??u??r22?1dH2atdu???r?dH?2at??du2?2H1dH22所以?r2??r?dH2atdu???2at??du2
?H?dH?u?dH?u??tdu?tdu???t? ?将以上方程代入承压井流微分方程（8） a???2H1?H????r2?r?r??H????t
得
?d2H?u2?(1?u)dH?dudu?初始条件和外边界条件表示为 ??H(u)u???H0
??内边界条件为??lim?u?02udHdu?Q2?T(const)代入初始条件和边界条件积分得
?H0e?uHdH?Q4?T??uudu
即得泰斯公式
?us?HH?Q??e0?4?Tuudu?Q4?TW(u)
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