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1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则dydx=_____________.
(2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM=_____________.
(3)设f(x)? ?1 ???x?0?,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于_____________.
1?x20?x?(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.
??a1b1a1b2?a1bn??(5)设A??a2b1a2b1?a2bn????????,其中ai?0,bi?0,i?(1?,2n,,则矩阵
A的秩
?anb1anb2?a?nbn?r(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当x?1时,函数x2?11x?1ex?1的极限 (A)等于2 (B)等于0
(C)为?
(D)不存在但不为?
(2)级数??(?1)n(1?cosa)(常数a?0) n?1n(A)发散 (B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D)收敛性与a有关
(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条
(D)不存在
(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为 (A)0 (B)1 (C)2
(D)3
?1??(5)要使ξ???0??1??0?,ξ2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A为
??2?????1??11
(A)??212?
(B)??20?1??011?
??01?1(C)???102?01??
(D)???1??4?2?2? ???011??
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求limex?sinx?1x?01?1?x2.
(2)设z?f(exsiny,x2?y2),其中f具有二阶连续偏导数,求?2z?x?y.
(3)设f(x)? 1?x2e?x x?0x?0,求?31f(x?2)dx.
四、(本题满分6分)
求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.
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五、(本题满分8分) 计算曲面积分
??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球面
?z?a2?x2?y2的上侧.
六、（本题满分7分） 设
f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).
七、（本题满分8分）
在变力F??yzi??zxj??xyk?的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2y2z2a2?2?2?1上第一卦限的bc点M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F?所做的功W最大?并求出W的最大值.
八、（本题满分7分）
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
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九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为
?1??1??1?ξ??,ξ????1?????1??1??2??2?,ξ3??3?,又向量β?2?.
?1????4????9????3??(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知P(A)?P(B)?P(C)?14,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?16,则事件A、B、C全不发生的概率
为____________.
(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X?e?2X}=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的概
2率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中?(x)?1?t22??x??edt).
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1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)??x1
1(2?)dt(x?0)的单调减少区间为_____________.
t(2)由曲线 3x2?2y2?12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量
z?0为_____________.
(3)设函数f(x)??x?x2(???x??)的傅里叶级数展开式为a?02??(ancosnx?bnsinnx),则其中
n?1系数b3的值为_____________.
(4)设数量场u?lnx2?y2?z2,则div(gradu)=_____________. (5)设n阶矩阵
A的各行元素之和均为零,且
A的秩为
n?1,则线性方程组
AX?0的通解为
_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)??sinx0sin(t2)dt,g(x)?x3?x4,则当x?0时,f(x)是g(x)的
(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小
(D)低价无穷小
(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为
??(A)2?4cos2?d40?
(B)4?0cos2?d?
?(C)2?40cos2?d? (D)1?42?0(cos2?)2d? (3)设有直线lx?1z?81:?y?5?与1?21l2: x?y?6则2y?z?3l1与l2的夹角为
(A)?6
(B)?4
(C)?3
(D)?2
(4)设曲线积分
?xL[f(t)?e]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中
f(x)具有一阶连续导数,且
f(0)?0,则f(x)等于
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(A)e?x?ex2 (B)ex?e?x2 (C)ex?e?x?1
(D)xe?x21?e?2
?123?(5)已知Q???24t?,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则 ???369??(A)t?6时P的秩必为1
(B)t?6时P的秩必为2 (C)t?6时P的秩必为1
(D)t?6时P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求lim(sin2x?cos1x)x.
x??x
(2)求
?xeex?1dx.
(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件yx?1?1的特解.
四、(本题满分6分)
计算???2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中?是由曲面z?x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的表面
?外侧.
五、(本题满分7分)
?求级数?(?1)n(n2?n?1)n?02n的和.
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六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
(1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一
个零点. (2)设b?a?e,证明ab?ba.
七、（本题满分8分）
已知二次型f(x2x221,x2,x3)?2x1?32?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形f?y2?2y2y212?53,求参数a及所用的正交变换矩阵.
八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.
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九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.
(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度
fY(y)=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率分布密度为f(x)?12e?x,???x???.
(1)求X的数学期望EX和方差DX.
(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?
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1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)limcot?(1?1
?0sinxx)= _____________. x(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
(3)设u?e?xsinxy,则?2ux?y在点(2,1??)处的值为_____________. 22R2,则??(x2y2(4)设区域D为x?y?2?2Dab)dxdy=_____________.
(5)已知α?[1,2,3],β?[1,1n2,13],设A?α?β,其中α?是α的转置,则A=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?(1)设M??2sinx??434??cosxdx,N?21?x2?2??(sinx?cosx)dx,P??22?(xsin3x?cos4x)dx,则有 2?2(A)N?P?M (B)M?P?N (C)N?M?P (D)P?M?N
(2)二元函数
f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是
f(x,y)在该点连续的
(A)充分条件而非必要条件
(B)必要条件而非充分条件
(C)充分必要条件
(D)既非充分条件又非必要条件
(3)设常数????0,且级数?a2nn收敛,则级数?(?1)ann?1n?1n2?? (A)发散
(B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D)收敛性与?有关
(4)limatanx?b(1?cosx)x?0cln(1?2x)?d(1?e?x2)?2,其中a2?c2?0,则必有
(A)b?4d (B)b??4d (C)a?4c
(D)a??4c
(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组
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(A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
x?cos(t2)
(1)设 2d2y?y?tcos(t2)??t1cosudu,求dy、在12udxdx2t?2的值. (2)将函数f(x)?14ln1?x1?x?12arctanx?x展开成x的幂级数.
(3)求?dxsin(2x)?2sinx.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分??xdydz?z2dxdy,其中S是由曲面x2?y2?R2及z?R,z??R(R?0)两平面所围成Sx2?y2?z2立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设
f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全
微分方程,求
f(x)及此全微分方程的通解.