26
六、(本题满分7分)
论证:当x?0时,(x2?1)lnx?(x?1)2.
七、(本题满分6分)
为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N?1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)
八、(本题满分7分)
设为椭球面x22S2?y2?z2?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平面,?(x,y,z)为点
O(0,0,0)到平面?的距离,求
??zdSS?(x,y,z).
九、(本题满分7分)
?设an??40tannxdx:
(1)求??1(an?an?2)的值.
n?1n26
(2)试证:对任意的常数??0,级数??an收敛.
n?1n?
十、(本题满分8分)
?
设矩阵A??a?1c??5b3?,其行列式
|A|??1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值?0,属于?0的一个特征???1?c0?a??向量为α?(?1,?1,1)T,求a,b,c和?0的值.
十一、(本题满分6分)
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要
条件是B的秩r(B)?n.
十二、(本题满分8分)
设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y1 y2 y3 P(X?xi)?pi? x 11 8 x12 8 P(Y?y1i)?p?j 6 1
十三、(本题满分6分)
?6x设X的概率密度为f(x)????3(??x) 0< x??,X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本
??0 其它(1)求?的矩估计量??. (2)求??的方差D(??). 27
2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
(C)向量组α1,?,αm与向量组β1,?,βm等价 (D)矩阵A?(α1,?,αm)与矩阵B?(β1,?,βm)等价 (5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量?为
?X?Y与 ??X?Y不相关的充分必要条件
?12x?x2dx=_____________.
0(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.
?11??x1??1?(4)已知方程组?2?23a?2??x???2???2?????3?无解,则a= _____________. ?1a???x3????0??(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相
等,则P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有
(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B)f(x)g(a)?f(a)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b) (D)f(x)g(x)?f(a)g(a)
(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有 (A)??xdS?4??xdS
(B)SS??ydS?4??xdS
1SS1(C)
??zdS?4??xdS
(D)
SS??xyzdS?4??xyzdS
1SS1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为
n?1(A)??(?1)nun
(B)n???u2n 1nn?1 (C)??1?u2n)
(D)?(u2n??un?1)
n?1?(unn?1 (4)设n维列向量组α 1,?,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,?,βm线性无关的充分必要条件为 (A)向量组α 1,?,αm可由向量组β1,?,βm线性表示
(B)向量组β
1,?,βm可由向量组α1,?,αm线性表示
27
(A)E(X)?E(Y) (B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
(C)E(X2)?E(Y2)
(D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
三、(本题满分6分) 1求xlim(2?e?sinxx??4).1?exx 四、(本题满分5分)
2设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?z?x?y.
五、(本题满分6分) 计算曲线积分I???xdy?ydx,其中L是以点L4x2?y2(1,0)为中心,R为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.
28
六、(本题满分7分)
设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其
S中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶导数,且
xlim?0?f(x)?1,求f(x).\\\\
七、(本题满分6分) ? 1xn求幂级数?n?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.
八、(本题满分7分)
设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分)
设函数
f(x)在??[0,?]上连续,且
?0f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同
的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.
十、(本题满分6分)
??1000?A*?0100?
设矩阵A的伴随矩阵??10??10?,且ABA?1?BA?1?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.
?0?308??
28
十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1熟练工支援其他生产部门,其缺
6额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工.设第n年1月份统
5计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn?n和yn,记成向量??xy?. ?n?(1)求??xn?1?与?xn?的关系式并写成矩阵形式:??y???xn?1???A?xn?n?1??y?n??y??. n?1??yn?(2)验证η?4???1?1???1??,η2???是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. ?1??1?(3)当?x????1???2?时,求?x??y???n?1?.1?1??yn?1??2??
十二、(本题满分8分)
某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).
十三、(本题满分6分) (x??)设某种元件的使用寿命
X的概率密度为f(x;?)???2e?2x??0,其中?0为未知参数.又设
?x???x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.
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2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.
(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________.
(4)设A2?A?4E?O,则(A?2E)?1= _____________.
(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为
(A) (B)
(C) (D)
(2)设
f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且
fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则
29
(A)dz|(0,0)?3dx?dy (B)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1} (C)曲线 z?f(x,y)在y?0(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3} (D)曲线 z?f(x,y)在y?0(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}
(3)设
f(0)?0则f(x)在x=0
处可导?
(A)limf(1?cosh)存在 (B) h?0h2 limf(1?eh)存在 h?0h(C)limf(h?sinh)2存在
(D)h?0hlimf(2h)?f(h)存在
h?0h?11??000?(4)设?11A??1111??4000???,则A与B ?1111??,B??0?0000??1111????0000??(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似
(D)不合同且不相似
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为 (A) -1 (B)0
(C)12
(D)1
三、(本题满分6分)
求
?arctanexe2xdx.
四、(本题满分6分) 设函数z?f(x,y)在点
(1,1)可微,且f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3,?(x)?f(x,f(x,x)),求
ddx?3(x)x?1.
30
五、(本题满分8分) 1?x2?设(?1)nf(x)? xarctanx x?0,将
f(x)展开成x的幂级数,并求?的和. 1 x?0n?11?4n2
六、(本题满分7分)
计算I???(y2?z2L)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz,其中L是平面 x?y?z?2与柱面
x?y?1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0.证明:
(1)对于?x?(?1,0)?(0,1),存在惟一的?(x)?(0,1),使 f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立.
(2)limx?0?(x)?0.5.
八、(本题满分8分)
h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?2(x2?y2设有一高度为)h(t)(设长度单位为厘
米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?
30
九、(本题满分6分)
设α1,α2,?,αs为线性方程组AX?O的一个基础解系,
β1?t1α1?t2α2,β2?t1α2?t2α3,?,βs?t1αs?t2α1,
其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2,?,βs也为AX?O的一个基础解系?
十、(本题满分8分)
已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x.
(1)记P?(x,Ax,A2x),求B使A?PBP?1.
(2)计算行列式A?E.
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率. (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
十二、(本题满分7分)
设X~N(?,?2)抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2), 样本均值2nnX?12n?Xi,Y?i?Xn?i?2X)2,求E(Y).
i?1?(Xi?1