36
(16)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)
(17)(本题满分12分)
计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧.
?
(18)(本题满分11分) 设有方程xn?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当??1时,级数
??x?n收
n?1敛.
(19)(本题满分12分) 设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.
(20)(本题满分9分)
??(1?a)x1?x2???xn?0,设有齐次线性方程组??2x1?(2?a)x2???2xn?0,??????(n?2),
???nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
36
(21)(本题满分9分)
?设矩阵A??12?3???14?3?的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化. ???1a5??
(22)(本题满分9分)
设A,B为随机事件,且P(A)?14,P(B|A)?13,P(A|B)?12,令
X???1,A发生, ?0,A不发生;Y???1,B发生, ?0,B不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
(2)X和Y的相关系数?XY.
(23)(本题满分9分) 设总体X的分布函数为
?1F(x,?)???1??,x?1,
?x?0,x?1,其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,
求:(1)?的矩估计量.
(2)?的最大似然估计量.
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2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线2y?x的斜渐近线方程为 _____________. 2x?1(2)微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??1的解为____________.
9(3)设函数222u(x,y,z)?1?x6?y12?z18,单位向量n??1=.________.
3{1,1,1},则
?u?n(1,2,3)(4)设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的整个边界的外侧,
则??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.
?(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵
A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3),
如果A?1,那么B? .
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y?2}=____________.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数f(x)?limn13nn???x,则
f(x)在(??,??)内
(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点
(D)至少有三个不可导点
(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,\M?N\表示\M的充分必要条件是N\则必有
(A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数
(C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数
(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数
(9)设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,? 具有一阶导数,则
必有
?2u?2u2(A)2??2
(B)?u?2u?x?y?x2??y2
37
?2u?2(C)?x?y?u?y2
(D)?2u?2?x?y?u?x2
(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)
(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1?α2)线性无关的充分必要条件是
(A)?1?0 (B)?2?0
(C)?1?0
(D)?2?0
(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则 (A)交换A*的第1列与第2列得B*
(B)交换A*的第1行与第2行得B* (C)交换A*的第1列与第2列得?B* (D)交换A*的第1行与第2行得?B*
(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立,则 (A)a?0.2,b?0.3 (B)a?0.4,b?0.1 (C)a?0.3,b?0.2
(D)a?0.1,b?0.4
(14)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为样本方差,则 (A)nX~N(0,1) (B)nS2~?2(n)
(C)(n?1)XS~t(n?1)
(D)(n?1)X21~F(1,n?1)
?nX2ii?2三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)
设D?{(x,y)x2?y2?2,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数. 计算二
重积分??xy[1?x2?y2]dxdy.
D38
(16)(本题满分12分) 求幂级数??(?1)n?1(1?1nn(2n?1))x2n的收敛区间与和函数f(x).
?1
(17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别
是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连
续导数,计算定积分
?30(x2?x)f???(x)dx.
(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1.
证明:
(1)存在??(0,1), 使得f(?)?1??.
(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.
(19)(本题满分12分)
设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分???(y)dx?2xydyL2x2?y4的值恒为同一常数.
(1)证明:对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有???(y)dx?2xydyC2x2?y4?0.
(2)求函数?(y)的表达式.
38
(20)(本题满分9分)
已知二次型f(x(1?a)x2221,x2,x3)?1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2.
(1)求a的值；
(2)求正交变换x?Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
(21)(本题满分9分)
?已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B??123??246?(k为常数),且AB?O,求线性?36k????方程组Ax?0的通解.
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)?
10 0?x?1,0?y?2x其它
求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y). (2)Z?2X?Y的概率密度fZ(z).
(23)(本题满分9分)
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记Yi?Xi?X,i?1,2,?,n. 求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
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2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)limxln(1?x)x?01?cosx?.
(2)微分方程y??y(1?x)的通解是 .
x(3)设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)的下侧,则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy? . ?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z= . (5)设矩阵A???21?12?,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则B= .
???(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P?max{X,Y}?1?= .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy分别为
f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则
(A)0?dx??y
(B)0??y?dy (C)?y?dy?0
(D)dy??y?0
(8)设?f(x,y)为连续函数,则
?4?10d?0f(rcos?,rsin?)rdr等于
(A)22?2dx?1?x0xf(x,y)dy (B)2?21?x20dx?0f(x,y)dy
(C)
2?2dy?1?y2yf(x,y)dx
(C)
22dy?1?y20?00f(x,y)dx
(9)若级数??an收敛,则级数
n?1(A)??an收敛
(B)n?1??(?1)nan收敛
n?1(C)??a?1nan?1收敛
(D)an?an收敛
n?1??n?12(10)设
f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?1y(x,y)?0.已知(x0,y0)是
f(x,y)在约束条件
?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是
39
(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (B)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是 (A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关
(C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.
(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记
?110?P???010???,则
?001??(A)C?P?1AP (B)C?PAP?1
(C)C?PTAP (D)C?PAPT (13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有 (A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B)
(C)P(A?B)?P(A) (D)P(A?B)?P(B)
(14)设随机变量X服从正态分布N(?21,?21),Y服从正态分布N(?2,?2),
且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则
(A)?1??2 (B)?1??2
(C)?1??2
(D)?1??2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=??x,y?x2?y2?1,x?0?,计算二重积分I???1?xyD1?x2?y2dxdy.
40
(16)(本题满分12分)
设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...?. 求:(1)证明limxn存在,并求之.
x??1(2)计算lim?xnx????1?x2n?x?. n?
(17)(本题满分12分) 将函数f?x??x展开成2?x?x2x的幂级数.
(18)(本题满分12分)
2设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?x2?y2??z?2满足等式z?x2??y2?0.
(1)验证f???u??f??u?u?0.
(2)若f?1??0,f??1??1,求函数f(u)的表达式.
40
(19)(本题满分12分) 设在上半平面D???x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0都有
f?tx,ty??t2f?x,y?.
证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.
L
(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组
??x1?x2?x3?x4??1?4x1?3x2?5x3?x?4??1 ?ax1?x2?3x3?bx4?1有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2. (2)求a,b的值及方程组的通解.