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2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
???dxexln2x= _____________. (2)已知ey?6xy?x2?1?0,则y??(0)=_____________.
(3)yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?1的特解是_____________.
2(4)已知实二次型f(x2?x221,x2,x3)?a(x12?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换可化为标准型
f?6y21,则a=_____________.
(5)设随机变量X~N(?,?2),且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为0.5,则?=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质:
①f(x,y)在点(x0,y0)处连续, ②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续, ③
f(x,y)在点(x0,y0)处可微, ④
f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在.
则有:
(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①
(D)③?①?④
(2)设un?0,且1nlimn??u?1,则级数?(?1)n?(1u?1)为
nnun?1(A)发散 (B)绝对收敛
(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.
(3)设函数f(x)在R?上有界且可导,则
(A)当xlim???f(x)?0时,必有xlim???f?(x)?0
(B)当limf?(x)存在时,必有x???xlim???f?(x)?0
(C) 当xlim?0?f(x)?0时,必有xlim?0?f?(x)?0 (D) 当xlim?0?f?(x)存在时,必有xlim?0?f?(x)?0.
(4)设有三张不同平面,其方程为aix?biy?ciz?di(i?1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与
增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
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(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为FX(x)和FY(y),则
(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数
(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设函数f(x)在x?0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f?(0)?0,当
h?0时,若
af(h)?bf(2h)?f(0)?o(h),试求a,b的值.
四、(本题满分7分) 已知两曲线2y?f(x)与y??arctanx?t0edt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限limnf(2n??n).
五、(本题满分7分) 计算二重积分
??emax{x2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.
D
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六、(本题满分8分)
设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d).
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵A?(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1?2α2?α3.若β?α1?α2?α3?α4,求线性方程组Ax?β的通解.
记I??1y[1?y2f(xy)]dx?xy2[y2f(xy)?1]dy, (1)证明曲线积分I与路径L无关.
(2)当ab?cd时,求I的值.
七、(本题满分7分)
? (1)验证函数y(x)??x3n (???x???)满足微分方程y???y??y?ex.
n?0(3n)!
??x3n(2)求幂级数y(x)?n?0(3n)!的和函数.
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.
(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
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十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵,
(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
十一、(本题满分7分)
设维随机变量X的概率密度为
1f(x)? 2cosx2 0?x?x
0 其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于?的次数,求3Y2的数学期望.
十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为
X 0 1 2 3 P ?2 2?(1??) ?2 1?2? 其中?(0???12)是未知参数,利用总体X的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3.
求?的矩估计和最大似然估计值.
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2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
1(1)lim(cosx)ln(1?x2) = .
x?0(2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是
.
(3)设?x2??ancosnx(???x??),则a2= .
n?0(4)从R2的基α?1?,α?1??1??1?1???2??1?到基?β1???1??,β2???2?的过渡矩阵为 .
?0????(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)? 6x0 0?x?y?1其它,则P{X?Y?1}? .
(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .
(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有
(A)一个极小值点和两个极大值点
(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点
(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且limn??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,则必有
(A)an?bn对任意n成立 (B)bn?cn对任意n成立 (C)极限limn??ancn不存在
(D)极限limn??bncn不存在
(3)已知函数
f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且
f(x,y)?xyx?lim0,y?0(x2?y2)2?1,则 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点
(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为
f(x,y)的极值点
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(4)设向量组I:α1,α2,?,αr可由向量组II:β1,β2,?,βs线性表示,则
(A)当r?s时,向量组II必线性相关 (B)当r?s时,向量组II必线性相关 (C)当r?s时,向量组I必线性相关 (D)当r?s时,向量组I必线性相关 (5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵,现有4个命题: ① 若Ax?0的解均是Bx?0的解,则秩(A)?秩(B) ② 若秩(A)?秩(B),则Ax?0的解均是Bx?0的解 ③ 若Ax?0与Bx?0同解,则秩(A)?秩(B) ④ 若秩(A)?秩(B), 则Ax?0与Bx?0同解 以上命题中正确的是 (A)①②
(B)①③
(C)②④
(D)③④
(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?1X2,则
(A)Y~?2(n) (B)Y~?2(n?1) (C)Y~F(n,1)
(D)Y~F(1,n)
三、(本题满分10分)
过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A.
(2)求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.
四、(本题满分12分)
将函数f(x)?arctan1?2x展开成(?1)?2xx的幂级数,并求级数的和.
1n??n?02n?1
五 、(本题满分10分)
已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??},L为D的正向边界.试证:
(1)??Lxesinydy?ye?sinxdx???Lxe?sinydy?yesinxdx.
(2)
??yLxesindy?ye?sinxdx?2?2.
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六 、(本题满分10分)
某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k?0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问
(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?
(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m表示长度单位米.)
七 、(本题满分12分)
设函数y?y(x)在(??,??)内具有二阶导数,且y??0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.
(1)试将x?x(y)所满足的微分方程d2xdxdy2?(y?sinx)(dy)3?0变换为y?y(x)满足的微分方程.
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?3的解. 2
八 、(本题满分12分)
???f(x2?y2?z2)dv??f(x2?y2)d?设函数
f(x)连续且恒大于零,F(t)??(t)f(x2?y2)d?,G(t)?D(t)D??(t)?t?1f(x2,
)dx其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2},D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.
(1)讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2)证明当t?0时,F(t)?2?G(t).
九 、(本题满分10分)
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?322??010设矩阵A???232?,P???101?,B?P?1A*P,求B?2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴
????223?????001??随矩阵,E为3阶单位矩阵.
十 、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:
ax?2by?3c?0,l2:
bx?2cy?3a?0,
l3:
cx?2ay?3b?0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
十一 、(本题满分10分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
(1)乙箱中次品件数的数学期望.
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二 、(本题满分8分)
设总体X的概率密度为?2(x??f(x)? 2e) x??
0x?0其中??0是未知参数.
从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记???min(X1,X2,?,Xn). (1)求总体X的分布函数F(x). (2)求统计量??的分布函数F??(x).
(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.
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2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且
f(1)?0,则f(x)=__________ .
(3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分
?Lxdy?2ydx的值为__________.
(4)欧拉方程2x2dydx2?4xdy?2y?0(x?0)的通解为__________ .
dx?210(5)设矩阵A????120?,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则
?001????B=__________ .
(6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
2(7)把xx?0?时的无穷小量???20costdt,???xx0tantdt,???0sint3dt,使排在后面的是前一个的
高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A)?,?,? (B)?,?,? (C)?,?,?
(D)?,?,?
(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得 (A)f(x)在(0,?)内单调增加 (B)f(x)在(??,0)内单调减少 (C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0) (D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)
(9)设??an为正项级数,下列结论中正确的是
n?1(A)若limna?n=0,则级数?an收敛
n??n?1(B)若存在非零常数?,使得limna??,则级数??nan发散
n??n?1(C)若级数??an收敛,则limn2an?0
n?1n??(D)若级数??an发散, 则存在非零常数?,使得limn??nan??
n?135
(10)设
tf(x)为连续函数,F(t)??t1dy?f(x)dx,则F?(2)等于
y(A)2f(2) (B)f(2)
(C)?f(2)
(D) 0
(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为
?01?(A)?0??100? (B)?010?
?01??101? ?1???001?????010??(C)??100?
(D)?011??11??100? ?0???001????(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有
(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (13)设随机变量
X服从正态分布
N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若
P{X?x}??,则x等于
(A)u?
(B)u
21??2(C)u1??
(D) u1??
2(14)设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,且其方差为?2?0.
令1n?nY?Xi,则
i?1(A)2Cov(X1,Y)??n
(B)Cov(X21,Y)?? (C)D(X1?Y)?n?2n?2
(D)D(X1?Y)?n?1n?2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)
设e?a?b?e2,证明ln2b?ln2a?4e2(b?a).