r?0(1?f2)解得 t?
2gf(1?f)11-5. 在粗糙斜面上有一薄壁圆筒和一实心圆柱，如图所示。设均质圆筒和均质圆柱的质量均为m，外径均为r。不计滚动阻力和圆筒与圆柱之间的摩擦阻力，求圆筒与圆柱中心的加速度。
解：圆筒，受力如图，由对于速度瞬心的动量矩定理，有
2圆柱，受2mr??(mgsin??FN)r力如图 32mr??(mgsin??FN)r 2 7 2
所以，中心的加速度
4 aO?r??gsin?7
r??2gsin???BFSBFN?mgFSAA?FNmgFNBFNA11-6. 如图，一均质塔轮外半径为2r，内径为r，惯性半径为?，质量为m1，其上作用一不变的转动力矩M（M足够大），在圆盘和塔轮上分别绕吊绳提升质量均为m2的重物。若不计轴承摩擦及吊绳的质量，求重物的加速度和轴承O的支座反力。
解：LO?JO??m2r??4m2r??(m1??5m2r)? MO(F)?M?3m2gr 由动量矩定理有：
(m1??5m2r)??M?3m2gr
222222FNO??Mm1ga?2r?ABa?r?m2g
m2g
??M?3m2gr 22m1??5m2r由质心运动定理有：
(m1?2m2)aC?FN?(m1?2m2)g aC??3m2r?
m1?2m2 FN?(m1?2m2)g?3m2r?
第十二章 动能定理
12-1. 在半径为r、质量为m的均质圆盘的直径上固结一长为
2r、质量为m1的均质细杆。圆盘作纯滚动。已知圆盘中心的速度为v0。求系统的动能。
解： T?T盘?T杆
v0O21112?v?322 T盘?mv0??mr?0??mv0
2224?r?1112?v?22m(2r)2?0??m1v0 T杆?m1v0??
22123?r? T?(m?23422 m1)v0312-2. 重为200N的木块上装有4个重量均为20N的轮子，在倾角??30?的斜面上滚下，如图所示。设轮子的半径为5cm，惯性半径为4cm，求从静止开始滚过1m时木块的速度。
解： T1?0
11222?v? T2?m木块v?4?m轮(??r)?? 22?r? ?（m木块?4?21239m轮）v2 25 W12?(m木块g?4m轮g)Ssin? 由动能定理有
（m木块?3m轮）v?（m木块?4m轮）gSsin? v??1222（m木块?4m轮）gSsin??39m木块?4?m轮252?2801?9.8?1??2.9cm/s
324.8212-3. 如图所示，十字形滑块K重G3，把固定杆CD和重为G2的杆AB联接成直角，杆AB的点A与半径为r、重量为G1的均质圆盘铰链。盘上作用一不变力偶矩M。忽略摩擦，求圆盘的角速度与其转角?的关系。设机构位于水平位置。
解：分析系统，
T1?0
分析运动，AB杆做平动。K为动点，AB为动系，有 vK?vA?vr
vK?vAcos??r?cos?
vAAMvKDvAB?OvrK???C1?1G12?21G221G32G1?2G2?2G3cos2?22T2??r?r? ???2gvAB?2gvK?2?2g4g??由动能定理 T2?T1?M? 得 ??4gM? 22r(G1?2G2?2G3cos?)
12-4. 图示机构，各构件的质量均为m，曲柄OA?l在不变力偶矩M作用下绕轴O从图示位置开始转n圈后，求此时曲柄OA的角速度。
解：由T2?T1?
A?W，得
MOC112213ml?OA?m(l?OA)2?m(l?OA)2 ?M2πn2324??OA?26πMnl17m12-5. 如图所示系统中，mA?mB?5kg，k?7N/cm。均质圆盘A只能在斜面上作纯滚动。今将圆盘从平衡位置向下移过10cm后放开。求当圆盘回到平衡位置时斜面B的速度。
解：水平方向动量守恒，有
k?43vB mBvB?mA(vB?vrcos30)?0，得 vr?3A?B72222? vA?vB?vr?2vBvrcos30?vB
3由动能定理，得
vB30?1122? T2?T1?k(???st)?k?st?mg?sin30
221112222其中 T1?0， T2?JA??mAvA?mAvA?3mvB
222mgsin30??0.035m 再??0.1m，而?st?k解得 vB?vrvAvBk(?2?2?)?2g?sin30??0.48m/s
2m
12-6. 如图所示的均质塔轮的质量m，外轮半径R，内轮半径r，对其中心轴的惯性半径?。今在塔轮的内圆上绕一软绳，绳的另一端通过定滑轮B悬挂质量为mA的重物，塔轮沿水平面纯滚动，不计滚动阻力和滑轮B及软绳的质量。试求绳的张力和水平面对塔轮的摩擦力。
解
：（
1
）
由
dT/dt??W，得 ?W?mAgvAdt?mAg(R?r)dt
112222mAvA]
2212222 ?d{[m(??R)?mA(R?r)]?}
2 dT?d[m(??R)??rRCDBA[m(?2?R2)?mA(R?r)2]???mAg(R?r)?
rRCmgDFN??mAg(R?r) 22m(??R)?mA(R?r)mAgR(R?r) 22m(??R)?mA(R?r)aCFDFSaC?R??（2）研究塔轮
maC?FD?Fs
m(?2?R2)??FD(R?r)
m(?2?R2)m(?2?Rr)?， FS?? 得 FD?R?rR?r