花落知多少第二章 推理与证明
章末复习
学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．
1．合情推理
(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理
(1)演绎推理：由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：
1
花落知多少①综合法是从已知条件推出结论的证明方法； ②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．
(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法． 4．数学归纳法
数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．
1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )
3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × ) 4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )
类型一 合情推理与演绎推理 例1 (1)观察下列等式：
?sin π?－2＋?sin 2π?－2＝4×1×2； ??3?3?3????
?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋?sin 4π?－2 ????5?5?5?5?????????
4
＝×2×3； 3
?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 6π?－2＝4×3×4； ????????7?7?7?7?3?????sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 8π?－2＝4×4×5； ????????9?9?9?9?3????
…… 照此规律，
?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 2nπ?－2＝________. ????2n＋1?2n＋1?2n＋1?2n＋1?????????
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数对(组)中的应用 4
答案 n(n＋1)
3
2
花落知多少3－13＋1
解析 第一个等式中1＝，2＝；
225－15＋1
第二个等式中，2＝，3＝；
227－17＋1
第三个等式中，3＝，4＝. 22
42n＋1－12n＋1＋14
由此可推得第n个等式等于××＝n(n＋1)．
3223(2)根据图(1)的面积关系：________.
S△PA′B′PA′PB′V三棱锥P－A′B′C′
＝·，可猜想图(2)有体积关系：＝S△PABPAPBV三棱锥P－ABC
考点 类此推理的应用
题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案
PA′PB′PC′
·· PAPBPC解析 题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P－ABC，P－A′B′C′；与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P－A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为
V三棱锥P－A′B′C′PA′PB′PC′
＝··.
V三棱锥P－ABCPAPBPC(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 1和3
解析 由题意可知丙不拿2和3.
若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是1和3.
反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的
3
花落知多少特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明． (2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确． 跟踪训练1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．
通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 13 3n＋1
解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13. 通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N)， 所以an＝3n＋1.
(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N且m≠n)，则Sm＋n*
*
＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：
________________. 考点 类比推理的应用
题点 等差数列与等比数列之间的类比
答案 数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N，m≠n)，则Tm＋n＝1 解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时， 加减运算类比推理为乘除运算． 累加类比为累乘，
由此，等差数列{an}的性质类比到等比数列{bn}中为： 数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积， 若Tm＝Tn(m，n∈N，m≠n)， 则Tm＋n＝1.
类型二 综合法与分析法
sin α例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤. 1－cos α考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 方法一 分析法
*
*
4
花落知多少sin α
要证2sin 2α≤成立，
1－cos α只需证4sin αcos α≤
sin α
，
1－cos α
∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 1
只需证4cos α≤，
1－cos α∵1－cos α>0，
∴4cos α(1－cos α)≤1， 可变形为4cosα－4cos α＋1≥0， 只需证(2cos α－1)≥0，显然成立． 方法二 综合法 ∵
1
＋4(1－cos α)≥4，
1－cos α
2
2
1π
当且仅当cos α＝，即α＝时取等号，
231
∴4cos α≤. 1－cos α∵α∈(0，π)，∴sin α>0， sin α
∴4sin αcos α≤，
1－cos αsin α
∴2sin 2α≤. 1－cos α
反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．
跟踪训练2 设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a＋b>ab＋ab. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题
证明 要证a＋b>ab＋ab成立，即需证 (a＋b)(a－ab＋b)>ab(a＋b)成立， 即需证a－ab＋b>ab成立． 只需证a－2ab＋b>0成立， 即需证(a－b)>0成立．
而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
5