花落知多少所以(a－b)>0显然成立． 即a＋b>ab＋ab. 类型三 反证法
1＋x1＋y例3 若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．
3
3
2
2
2
yx考点 反证法及应用 题点 反证法的应用
1＋x1＋y证明 假设<2和<2都不成立，
yx1＋x1＋y则有≥2和≥2同时成立．
yx因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2. 这与已知x＋y>2矛盾． 故
1＋x1＋y<2与<2中至少有一个成立．
yx反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d)．
求证：方程x＋ax＋b＝0与方程x＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用
证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a－4b<0与Δ2＝c－4d<0，有a＋c<4(b＋d)，而a＋c≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法
21
例4 已知在数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，
3Sn2
2
2
2
2
2
2
2
S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
考点 数学归纳法证明数列问题 题点 数学归纳法证明数列通项问题 1
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
Sn∴Sn＝－
1
(n≥2)．
Sn－1＋2
6
花落知多少2
则有S1＝a1＝－，
3
S2＝－＝－，
S1＋24S3＝－＝－， S2＋25S4＝－＝－， S3＋26
由此猜想：Sn＝－
1
5
1
4
13
n＋1*
(n∈N)． n＋2
下面用数学归纳法证明：
2
(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
3(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N)时猜想成立， 即Sk＝－
*
k＋1
成立， k＋2
那么当n＝k＋1时，
Sk＋1＝－＝－
Sk＋2k＋1
－＋2k＋2
＝－11
k＋2?k＋1?＋1
＝－. k＋3?k＋1?＋2
即当n＝k＋1时猜想成立．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立．
反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少．
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子 2＋3＋4＝9 第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；
(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明
7
花落知多少解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n个等式为
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)＝1， 猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，猜想成立， 即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1). 那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝(2k－1)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝4k－4k＋1＋8k＝(2k＋1) ＝[2(k＋1)－1]. 右边＝[2(k＋1)－1]， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 根据①②知，猜想对任意n∈N都成立.
*
2
2
2
2
2
2
*
2
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( ) A．47 C．63
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B
解析 5＝2＋1,9＝2＋1,17＝2＋1,33＝2＋1， 归纳可得：x＝2＋1＝65.
2．在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( ) A.＋＋＝1 C.＋＋6
2
3
4
5
B．65 D．128
xyabxyzabcB.＋＋xyz＝1
abbccaxyyzzx＝1
abbccaD．ax＋by＋cz＝1
8
花落知多少考点 类比推理的应用
题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 A
解析 ∵在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，
xyabxyzb，c(abc≠0)的平面方程为＋＋＝1.故选A.
abc3．若a>0，b>0，则有( )
b2
A.>2b－a ab2
C.≥2b－a a考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C
b2
B.<2b－a ab2
D.≤2b－a ab2b2－2ab＋a2?b－a?2b2
解析 因为－(2b－a)＝＝≥0，所以≥2b－a.
aaaa4．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x＋ax＋b＝0至多有一个实数 C．方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x＋ax＋b＝0恰好有两个实根 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 A
解析 方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x＋ax＋b＝0没有实根，故选A. 5．用数学归纳法证明：
1111n*
＋＋＋…＋＝(n∈N)． 2×44×66×82n?2n＋2?4?n＋1?考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 解 (1)当n＝1时，左边＝
11
＝，
2×1×?2×1＋2?8
3
3
3333
3
9
花落知多少11
右边＝＝.
4×?1＋1?8左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N)时等式成立， 1111k即有＋＋＋…＋＝，
2×44×66×82k?2k＋2?4?k＋1?则当n＝k＋1时，
11111＋＋＋…＋＋ 2×44×66×82k?2k＋2?2?k＋1?[2?k＋1?＋2]＝
*
k1
＋ 4?k＋1?4?k＋1??k＋2?
2
k?k＋2?＋1?k＋1?＝＝ 4?k＋1??k＋2?4?k＋1??k＋2?
＝
k＋1k＋1
＝.
4?k＋2?4[?k＋1?＋1]
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N，等式都成立．
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．
4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n＝n0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n＝k时，结论成立，推得当n＝k＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．
*
一、选择题
10