花落知多少15．给出下列等式：
1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，
……
(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n(n∈N)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜想的等式． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明
(1)解 第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)． 猜想第n个等式为1－2＋3－4＋…＋(－1)＝(－1)
n－1
2
2
2
2
*
n－12
n
·(1＋2＋3＋…＋n)．
2
0
(2)证明 ①当n＝1时，左边＝1＝1，右边＝(－1)×1＝1，左边＝右边，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，猜想成立，即1－2＋3－4＋…＋(－1)
1
*
2
2
2
2
k－12
k＝(－1)k－
·
k?k＋1?
2
，
2
2
2
2
则当n＝k＋1时，1－2＋3－4＋…＋(－1)
k－12
k＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·
k?k＋1?
2
＋(－
k??k＋1?[?k＋1?＋1]?k2kk1)(k＋1)＝(－1)(k＋1)·??k＋1?－?＝(－1)·，
2?2?
故当n＝k＋1时，猜想也成立
由①②可知，对于任意n∈N，猜想均成立．
*
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