花落知多少1x1．证明命题：“f(x)＝e＋x在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝
e1111xxxxe＋x，所以f′(x)＝e－x.因为x>0，所以e>1,0
eeee在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A．综合法 C．反证法 考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题 答案 A
解析 这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A. 2．若a ab11B．a＋>b＋ baab11C．b＋>a＋ D. aa＋1 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 答案 C 解析 取a＝－2，b＝－1，验证可知C正确． 3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n个正方形点数是( ) A．n(n－1) C．(n＋1) 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 D 解析 由题意可知第n个正方形点数为n. 4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) 11 2 2 B．n(n＋1) D．n 2 花落知多少A．25 C．6 考点 归纳推理的应用 B．7 D．8 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B 解析 由所给的数列规律知，第25项为7. 5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝2.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( ) A．a1a2a3…a9＝2 C．a1a2…a9＝2×9 考点 类比推理的应用 题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案 D 解析 由等差数列的性质a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5可知D正确． 6．用数学归纳法证明“2>n＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值 n2 9 9 B．a1＋a2＋…＋a9＝2 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9 9 n0应取( ) A．2 C．5 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C 解析 当n取1,2,3,4时，2>n＋1不成立，当n＝5时，2＝32>5＋1＝26，即第一个能使2>n＋1成立的n值为5，故选C. 7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( ) A．大于0 C．不小于0 考点 综合法及应用 题点 综合法的应用 答案 D 解析 因为(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)＝0， 又因为a＋b＋c≥0， 所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0. 8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. 12 2 2 2 2 2 2 2 B．3 D．6 n252 n2 B．小于0 D．不大于0 花落知多少学生序号 立定跳远(单位：米) 30秒跳绳(单位：次) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 63 a 75 60 63 72 70 a－1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B 解析 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号． 若a>63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意； 若61≤a≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意； 若a＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意； 若a≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意． 综上可知，5号进入30秒跳绳决赛． 二、填空题 1 9．已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 3____________________． 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 1 答案 正四面体的内切球的半径是高的 4 111 解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S＝ah1＝3×ar?r＝h1(其中a是正 223三角形的边长，h1是高，r是内切圆半径)． 13 花落知多少111 类比，用等体积法，V＝Sh2＝4×R·S?R＝h2(其中S为底面正三角形的面积，h2是高，R334是内切球的半径)． 10．已知2 2＋＝23 2，3 33＋＝38 3，8 44＋＝415 4 ，…，15 6＋＝6 aba，a，bb均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 41 解析 由题意归纳推理得∴a＋b＝6＋35＝41. 11．完成反证法证题的全过程． 题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则________均为奇数．① 因为7个奇数之和为奇数，故有 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．② 而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③ ②与③矛盾，故p为偶数． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 a1－1，a2－2，…，a7－7 奇数 0 解析 由假设p为奇数可知，(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾． 三、解答题 12．用综合法或分析法证明： (1)如果a，b>0，则lg(2)6＋10>23＋2. 考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 6＋＝6 aba2 ，b＝6－1＝35，a＝6. ba＋blg a＋lg b2≥ 2 ； 14 花落知多少证明 (1)当a，b>0时，有∴lg∴lga＋b2 ≥ab， a＋b2 ≥lgab， a＋b1 lg a＋lg b≥lg(ab)＝. 222 (2)要证6＋10>23＋2， 只需证(6＋10)>(23＋2)， 即260>248，这是显然成立的， ∴原不等式成立． 11113．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立． xyx＋y考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 111 证明 假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立． xyx＋y于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy， 即x＋y＋xy＝0， 2 2 2 2 ?y?232 即?x＋?＋y＝0. ?2?4 32 由y≠0，得y＞0. 4又?x＋?≥0， ?2? ? y?2 ?y?232 所以?x＋?＋y＞0. ?2?4 与x＋y＋xy＝0矛盾，故原命题成立． 四、探究与拓展 14．设S，V分别表示表面积和体积，如△ABC的面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用 2 2 VO－ABC表示，对于命题：如果O是线段AB上一点，则|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平 →→→ 面的情形时，应该有：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有__________． 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 →→→→ 答案 VO－BCD·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0 →→→→ 15 花落知多少15．给出下列等式： 1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)， …… (1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n(n∈N)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜想的等式． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明 (1)解 第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)． 猜想第n个等式为1－2＋3－4＋…＋(－1)＝(－1) n－1 2 2 2 2 * n－12 n ·(1＋2＋3＋…＋n)． 2 0 (2)证明 ①当n＝1时，左边＝1＝1，右边＝(－1)×1＝1，左边＝右边，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，猜想成立，即1－2＋3－4＋…＋(－1) 1 * 2 2 2 2 k－12 k＝(－1)k－ · k?k＋1? 2 ， 2 2 2 2 则当n＝k＋1时，1－2＋3－4＋…＋(－1) k－12 k＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1· k?k＋1? 2 ＋(－ k??k＋1?[?k＋1?＋1]?k2kk1)(k＋1)＝(－1)(k＋1)·??k＋1?－?＝(－1)·， 2?2? 故当n＝k＋1时，猜想也成立 由①②可知，对于任意n∈N，猜想均成立． * 16