不仅发展了许多新的数学领域，而且应用数学的范围大大扩充了．最显著的是，计算机的发展和计算机应用的爆炸性增长，它们绝大多数都要求发展新的数学．同样，与广泛应用相联系的几个主要数学分支，产生了大量的思想财富．学生必须学习这些应用数学，进而利用应用数学解决实际问题．
3.5改善教与学的方式，使学生主动地学习
丰富学生的学习方式、改进学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念．学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动．高中数学课程在教育理念、学科内容、课程资源的开发利用等方面都对教师提出了挑战．在教学中，教师应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合高中学生数学学习的教学方式．
数学来源与生活，应用与生活。开辟学生的第二课堂，把理论与实践结合起来，是教学改革的重要组成部分。为此我们学校开展了形式多样、生动有趣的数学课外活动，如：数学竞赛、实际调查、收集生活中的数据、把数学运用到生活中等，进而引导学生在生活中学习数学、运用数学，培养了学生的实践能力，提高了学生的综合素质，发展了学生的个性与创新思维能力。
7
第四章 新课程理念下对原有内容的教学研究
4.1函数教学研究
函数是高中数学的一个重要的基本概念，它渗透在数学的各部分内容中，已经成为高中数学中的纽带，但同时它又是学生最难理解的内容之一. 《普通高中数学课程标准》（以下简称《新课标》）对函数概念的处理方式是强调函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，一种通过某一事物的变化信息可退至另一事物信息的对应关系的数学模型. 并要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法. 基于课程改革以及函数教学的重要性，对比《新课标》下的函数内容与《全日制普通高级中学数学教学大纲》（简称《大纲》）下的函数内容，并通过对高中函数教学改革的分析，提出了相关的建议.
4.1.1. 新课标下高中函数内容的变化
与《大纲》相比，《新课标》加强了函数模型背景和应用的要求，使学生通过丰富的实例，进一步体会函数是因变量随自变量变化的重要数学模型；让学生通过具体实例去了解指数函数模型的实际背景，去了解对数函数模型的实际背景；让学生通过实例去体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集现实生活中普通使用的函数模型实例，去了解函数模型的广泛应用.
在知识联系方面，《新课标》下的高中数学以模块形式呈现，利于学生学习数学、认识数学的整体性. 另外《新课标》还加强了对数形结合、几何直观等数学思想方法学习的要求，同时还加强了与信息技术结合的要求.
《新课标》在《大纲》的基础上淡化了对定义域、值域等过于困难的定义，尤其是人为的过于技巧化的训练，目的是使学生更好地理解函数的基本思想和实质. 削弱了
x反函数的概念，只要求知道指数函数y?ax与对数函数y?loga互为反函数；将复合函数概念放到“导数及其应用”的相关内容中. 此外，对数函数内容的要求也有所降低.
4.1.2. 关于改进高中函数教学的几点建议
（1）对教材编写者的建议
高中数学必修一的教材编写在总体上是可以让广大师生满意的，但针对很多教师提出的建议，笔者认为作为教材编写者，还应该从以下几点进行进一步改进.
① 学科内教材编写者要进行交流. 教师反映，在教授模块一和模块二中，集合等符号表现形式不同，让教师感到很困惑. 并且这样的问题还反映在内容的前后顺序上. 数学是一个很大的体系，有些知识必须以另一些知识为基础才可以继续学习. 模块的制定虽然打破了过去直线上升的体系结构，采用螺旋上升的方式，目的是为了更符合学生的学习规律，但是很难避免学生在知识衔接上出现的问题. 笔者认为作为教材的编写者应该互相交流，使知识的呈现更为合理，而不是在某些知识点的处理上直接给出该知识
8
点，没有由来. 这样处理过于牵强，学生当时只能在不理解的情况下强记，教师也无法对此进行解释.
②各学科的教材编写者要进行交流. 教师们普遍反映，函数第三章用到的物理知识学生还没有学过，课程进行得很困难. 物理中也反映出三角函数不讲授，物理课程不能进行. 因此出现了数学课上讲物理、物理课上讲数学的怪现象，这样必然会导致后面的重复学习，增加了学生的学业负担，也从一定程度上增加了教师的备课难度. 因此对于基础学科的知识讲授顺序调整上还需慎重.
③ 教材的编写还应紧凑. 如果完成高中数学学业，课改前只需要５本教材，而课改后每学年就需要４本教材，全套高中数学教材有１０本. 不难想象到高三时学生需要带多少本书才能完成复习任务. 教师们反映，模块教学可以，但不一定要把每一模块编为一本教科书.
（2）对教师的建议
笔者通过调查发现，教师在实际教学中很多方面都符合新课程的理念，例如教学方式、个人对新课程的理解等，但有些方面还需要广大教师引起注意.
① 多研究新课程理念，从总体上把握教学. 有些教师只是通过手中的课本和参考书讲授课程，其实在新课程中，更提倡从课程标准入手把握教学内容. 例如对教学难度的把握，学生究竟要掌握到知识点到什么程度，课程标准中都有明确的说明，教师在研究课本的同时，也要注意课程标准的阅读，力求有的放矢.
② 多注意新课程的全套教材. 教师除了留意本年级的教学内容，还要多读一些新课程其他年级的教材. 例如，在函数部分与初中的衔接，就要阅读初中新课程的数学教材，明白了初中的学习内容，才能做好衔接［２］. 还要注意后继课程的内容，目前教学体系是螺旋上升的，每个模块都或多或少地有相应的后继课，要做到前后兼顾，才能了解目前教学应从哪里开始，讲到哪里结束.
③ 增强数学素养. 虽然大部分教师对数学理解很深，不过也存在着对数学常识了解度不高的教师. 例如在对数函数中，有些教师对数学史掌握透彻，就可以从对数的由来讲起，而有的年轻教师不知道对数产生于指数之前，那其对课程的把握必然会受到影响. 因此在积累教学经验的同时，还应积累自身的数学素养.
4.2向量与三角函数教学研究
三角函数是高中数学必修四三章内容中的第一章，该内容属于我国高中数学课程的传统内容，而平面向量则是从1996年开始陆续进入我国高中数学课程的.相对于《全日制普通高级中学数学教学大纲（2002年颁布）》（下称《大纲》）而言,《高中数学课程标准》（下称《标准》）对于该模块所涉及的相当一部分内容作了新的处理，在要求上也有了一定程度的变化.
4.2.1教育价值
三角函数是一类重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用.向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.三角恒等变换在数学中有着一定的应用，同时它对于发展学生的推理能力和运算能力则是大有裨益的.高中数学必修四的教育价值主要体现在以下三个方
9
面.
（1）.有助于学生体会数学与实际生活的联系以及数学在解决实际问题中的作用
三角函数与向量是刻画现实世界的重要数学模型.学生在实际生活中遇到大量的周期变化现象，如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些都是三角函数的实际背景，又可以用三角函数加以刻画和描述.力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述.《标准》突出三角函数与向量的实际背景与应用.因此，通过本模块内容的学习，有助于学生认识到三角函数、向量与实际生活的紧密联系，以及三角函数、向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识.
（2）.有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学发现与创造过程
向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数与几何的桥梁.《标准》将向量与三角函数设计在一个模块中，主要是为了通过向量沟通代数、几何与三角函数的联系，体现向量在处理三角函数问题中的工具作用.《标准》要求学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，并由此公式作为出发点，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式等，这个过程有助于学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系以及三角恒等变换公式之间的内在联系.
（3）.有助于发展学生的运算能力和推理能力
向量作为代数对象，可以象数一样进行运算.运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索.数运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等是数学中的基本运算.从数运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用.《标准》要求学生掌握向量的加、减、数乘、数量积的运算，推导三角恒等变换公式.三角恒等变换公式的推导即是一种三角函数运算，也体现了公理化方法和推理论证在数学研究中的作用.因此，本模块内容的学习有助于学生体会数学运算的意义，以及运算、推理在探索、发现数学结论，建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力.
4.2.2．课程内容加强的方面及依据
（1）.加强几何直观
《标准》强调几何直观，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用.如，对于三角函数，《标准》要求在三角函数及其性质的学习中，发挥单位圆的直观作用，借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象，借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质；对于平面向量，《标准》强调向量概念的几何背景，强调理解向量运算（加、减、数乘、数量积）及其性质的几何意义.
10
（2）.强调数学建模
《标准》将三角函数与向量作为刻画现实世界的数学模型.学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程，即“问题情景—建立模型—数学结果—解释、应用与拓展”.《标准》对三角函数与向量内容的处理，首先提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象，建立三角函数与向量模型（引出三角函数与向量的概念），再运用数学的方法研究三角函数与向量模型的性质，最后运用三角函数与向量模型及其性质去解决包括现实原型在内的更加广泛的一类实际问题.这样处理体现了数学知识的产生、发展过程，反映了数学的“来龙去脉”，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识.
（3）.强调信息技术的运用
《标准》要求鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题.如借助计算器、计算机求三角函数值，求解测量问题，画三角函数y?Asin(?x??)的图象，分析参数A,?,?的变化对函数的影响等.信息技术的运用，一方面，可以把学生从烦琐复杂的技巧性运算中解脱出来，为学生借助信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动提供时间和空间.另一方面，可以解决一些实际问题.以往，用数学解决实际问题时，往往由于计算量大或建立的数学模型有时不易求解或虽能求解但不好用，使数学在解决实际问题中的作用受到很大限制.借助计算机，则可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要利用数值计算近似求解，或对模型进行修改以满足实际需要.
（4）.强调数学知识之间的内在联系以及数学与其他学科的联系
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的一种工具，体现了数形结合的思想.本模块用向量的数量积来推导两角差的余弦公式、刻画平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题，体现了向量方法在研究和解决数学问题中的作用，也沟通了代数、几何与三角的联系.三角函数与向量在物理中有着广泛的应用，物理背景也是三角函数与向量模型的重要原型.《标准》强调突出三角函数与向量的物理背景和三角函数与向量在物理中的应用，体现了数学与物理等学科的密切联系.
4.2.3．课程内容削弱的方面及依据
（1）.三角函数与三角恒等变换
与《大纲》相比，《标准》在三角函数部分删减了以下内容：任意角的余切、正割、余割，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性，已知三角函数值求角以及符号arcsinx,arccosx,arctanx ，解三角形（《标准》中将解三角形设在在数学5中）等内容.《标准》对一些内容降低了要求，如任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式分别由原来的理解、掌握减弱为了解、理解；两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出等.对三角恒等变换，《标准》要求以推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基本训练，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形.
11