全国硕士研究生入学统一考试
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x2?xy?2x?1渐近线的条数为（ （1）曲线
（A）0 （2）设函数（
）
?20 ）
（D）3
（B）1 （C）2
f(x)?(ex?1)(e2x?2)…（enx-n）f?(0)=
，其中n为正整数，则
n(?1)(n?1)! （B）
n(?1)n! （D）
n?1(?1)(n?1)! （A）
n?1(?1)n! （C）
（3）设函数
f(t)连续，则二次积分?4?x22x?x24?x22x?x2d??22cos?f(r2)rdr=（ ）
（A）0???2dx?dx?dx?1x2?y2f(x2?y2)dyf(x2?y2)dy
2（B）02
4?x2?2x?x24?x2?2x?x20x2?y2f(x2?y2)dy
（C）
?（D）
20dx?1f(x2?y2)dy
（4）已知级数i?1（ ）
?(?1)?n1nsin?n(?1)n?2??ni?1绝对收敛，条件收敛，则?范围为
?（A）0
1（B）2< ??1
生命不息 - 1 - 奋斗不止
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3（C）1
3（D）2
?1??0??0???1??,???1?,????1?,???1??1??0??2??3??4???c??c??c??c?123?????4?其中c1，c2，c3，c4??（5）设
为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
）
?，?2，?3
（A）1?，?3，?4 （C）1
?，?2，?4 （B）1（D）
?2，?3，?4
?1??1?，????2? （6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=??1QAQ=（?????????）P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）则
?1???2????1? （A）??2???1???2??? （C）
?1??1?????2? （B）??2???2???1??? （D）
（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则
?｛?2+?2?1｝（
1（A）4
）
1（B）2
?（C）8
?（D）4
2X，X，X，XN（1，?）（??0）1234（8）设为来自总体的简单随机样
X1?X2|X+X4-2|的分布（
本，则统计量3（0，1）（A）N
）
2?(1) （C）
t(1) （B）
（D）
F(1,1)
生命不息 - 2 - 奋斗不止
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二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
lim(tanx)?（9）
x?41cosx?sinx
（10）设函数
?dy?lnx,x?1f(x)?,y?f(f(x)),求dx??2x?1,x?1x?0___________.
（11）函数
z?f(x,y)lim满足
x?0y?1f(x,y)?2x?y?2x?(y?1)22?0,则
dz(0,1)?_______.
y?（12）由曲线_______.
4x和直线y?x及y?4x在第一象限中所围图形的面积为
（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.
（14）设A,B,C是随机事件，A,C
11P(AB)?,P(C)?,23则互不相容，
P（??C）=_________.
解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
e?e2?2cosxlim4x?0x计算
x2
（16）（本题满分10分）
xe??xydxdyy?x与y?，其中D为由曲线
计算二重积分D
1x所围区域.
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（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的
x边际成本分别为20+2（万元/件）与6+y（万元/件）.
1）求生产甲乙两种产品的总成本函数
C(x,y)（万元）
2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.
3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.
（18）（本题满分10分）
1?xx2xln?cosx?1?,?1?x?1.1?x2证明：
（19）（本题满分10分）已知函数及
f(x)满足方程f?(x)?f?(x)?2f(x)?0f?(x)?f(x)?2ex
1）求表达式
f(x)
2）求曲线的拐点
y?f(x)?f(?t2)dt02x
（20）（本题满分10分）
?1?0A???0??a设
（I）求|A|
a00??1???1?1a0??，b????0?01a????001??0?
?b有无穷多解，求a，并求Ax?b的通解.
（II）已知线性方程组Ax(21)（本题满分10分）
生命不息 - 4 - 奋斗不止
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?1?0A????1??0已知
求实数a的值；
1?11??，0a??a?1?二次型f(x1,x2,x3)?x?(???)x的秩为2，
0求正交变换x=Qy将f化为标准型. （22）（本题满分10分）
已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示： X P
Y P
XY P
求（1）P(X=2Y); （2）
0 1 2 0 4 0 1 2 0 1 2 12 13 16 13 13 13 712 13 112 cov(X?Y,Y)与?XY.
（23）（本题满分10分）
设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，
V?min(X,Y),U=max(X,Y).
求（1）随机变量V的概率密度； （2）
E(U?V).
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