全国硕士研究生入学统一考试
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1) 已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与是cxk等价无穷小，则
(A) k?1,c?4 (B) k?1,c??4 (C) k?3,c?4 (D) k?3,c??4
x2f(x)?2f(x3)(2) 已知f(x)在x?0处可导，且f(0)?0,则lim? 3x?0x(A) ?2f(0) (B) ?f(0) (C) f(0) (D) 0 (3) 设?un?是数列，则下列命题正确的是
(A) 若
'''?un?1??n收敛，则
?(un?1?2n?1?u2n)收敛
?(B) 若
?(un?1?2n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1(C) 若
?un?1?n收敛，则
?(un?1?2n?1?u2n)收敛
? (D) 若
?(un?12n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1??40?0(4) 设I?小关系是
?40ln(sinx)dx,J??ln(cotx)dx,K??4ln(cosx)dx 则I,J,K的大
(A) I?J?K (B) I?K?J (C) J?I?K (D) K?J?I (5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3
?100??100?????行得单位矩阵记为P10?，P2??001?，则A? 1??1?001??010??????1?1(A)P1P2 (B)P2P1 (D) P1P2 (C)P2P1
生命不息 - 6 - 奋斗不止
全国硕士研究生入学统一考试
(6) 设A为4?3矩阵,?1, ?2 , ?3 是非齐次线性方程组Ax??的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax??的通解为
(A)
?2??32???3(B) 2?k2(?2??1)
2???3(C) 2?k1(?3??1)?k2(?2??1)
2???3(D) 2?k2(?2??1)?k3(?3??1)
2(7) 设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x), f1(x)是连续函数，则必为概率密度的是
(A) f1(x)f2(x) (B)2f2(x)F1(x)
(C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)
(8) 设总体X服从参数?(??0)的泊松分布，X1,X1,?Xn(n?2)为来自总体的简
?k1(?2??1)
1n1n?11单随即样本，则对应的统计量T1??Xi，T2?X?Xn ?in?1i?1nni?1(A)ET1?ET2,DT1?DT2 (B)ET1?ET2,DT1?DT2 (C)ET1?ET2,DT1?DT2 (D) ET1?ET2,DT1?DT2
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设f(x)?limx(1?3t)，则f(x)?______.
t?0xt'x(10) 设函数z?(1?)y，则dz|(1,1)?______.
y(11) 曲线tan(x?y?(12) 曲线y?的体积______.
(13) 设二次型f(X1,X2,X3)?xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下x?Qy的标准型为______.
生命不息 - 7 - 奋斗不止
x?4)?ey在点(0,0)处的切线方程为______.
x2?1，直线x?2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体
全国硕士研究生入学统一考试
(14) 设二维随机变量(X,Y)服从N(?,?;?,?;0)，则E(XY)?______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分) 求极限limx?02221?2sinx?x?1.
xln(1?x)(16) (本题满分10分)
已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，f(1,1)?2是f(u,v)的极值，
?2zz?f?(x?y),f(x,y)?。求|(1,1).
?x?y(17) (本题满分10分) 求
arcsinx?lnxdx ?x(18) (本题满分10分) 证明4arctanx?x?4??3?0恰有2实根。 3(19) (本题满分10分)
f(x)在?0,1?有连续的导数，f(0)?1，且
??Dt，f'(x?y)dxdy???ft(dxdy)DtDt?{(x,y)|0?x?t,0?y?t,0?x?y?t}(0?t?1)，求f(x)的表达式。
(20) (本题满分11分)
TTTT设3维向量组?1?，?2?，?3?不能由?1?，（1,0,1）（0,1,1）（1,3,5）（1,a,1）TT，?3?线性标出。 ?2?（1,2,3）（1,3,5）求：(Ⅰ)求a；
(Ⅱ)将?1，?2，?3由?1，?2，?3线性表出. (21) (本题满分11分)
?11???11????已知A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A??0000????，
??11??11?????生命不息 - 8 - 奋斗不止
全国硕士研究生入学统一考试
求：(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X，Y的概率分布如下：
X P 220 1 Y -1 P 1/3 0 1/3 1 1/3 1/3 2/3 且P(X?Y)?1，
求：(Ⅰ)(X，Y)的分布；
(Ⅱ)Z?XY的分布； (Ⅲ)?XY. (23) (本题满分11分)
设(X,Y)在G上服从均匀分布，G由x?求：(Ⅰ)边缘密度
(Ⅱ)
y?0，x?y?2与y?0围成。
fX(x)；
fX|Y(x|y)。
生命不息 - 9 - 奋斗不止
全国硕士研究生入学统一考试
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 若lim??(?a)ex??1，则a等于
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
(2) 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y?p(x)y?q(x)x的两个特解，若常数?，
'?1x?0x?1x??u使?y1?uy2是该方程的解，?y1?uy2是该方程对应的齐次方程的解，则（）
1111，?? （B）???，??? 22222122（C）??，?? （D）??，??
3333（A）??(3) 设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g(x)?0。若g(x0)=a是g(x)的极值，则
\f?g(x)?在x0取极大值的一个充分条件是（）
（A）f(a)?0 （B）f(a)?0 （C）f(a)?0 （D）f(a)?0
(4) 设f(x)?lnx，g(x)?x,h(x)?e,则当x充分大时有（） （A）g(x)?h(x)?f(x) （B）h(x)?g(x)?f(x) （C）f(x)?g(x)?h(x) （D）g(x)?f(x)?h(x)
10\\''x10??r可由向量组Ⅱ：?1，?2，??s线性表示，下列命题正确(5) 设向量组Ⅰ：?1，?2，的是
（A）若向量组Ⅰ线性无关，则r?s （B）若向量组Ⅰ线性相关，则r?s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则r?s （D）若向量组Ⅱ线性相关，则r?s (6) 设A为4阶实对称矩阵，且A2?A?0,若A的秩为3，则A相似于
生命不息 - 10 - 奋斗不
止