全国硕士研究生入学统一考试
(12) 设函数y?1(n)，则y(0)?_________. 2x?3(13) 设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则xyxxy?z?z?y________. ?x?y(14) 微分方程
dyy1y3??()满足ydxx2xx?1?1的特解为y?__________. ?0?0(15) 设距阵A???0??0100??010?,则A3的秩为_______.
001??000?1的概率为________. 2(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于
三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）
设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点（1，1）附近的凹凸性。
（18）（本题满分11分） 设二元函数
?x2.? f(x,y)??1,?22?x?y计算二重积分
Dx?y?1.1?x?y?2.
??f(x,y)d?.其中D??(x,y)x?y?2。
?（19）（本题满分11分）
设函数f(x)，g(x)在?a,b?上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，
f(b)＝g(b)，证明：
（Ⅰ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?)； （Ⅱ）存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?)。 （20）（本题满分10分） 将函数f(x)?1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间。 2x?3x?4生命不息 - 26 - 奋斗不止
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（21）（本题满分11分）
设线性方程组
?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0?2?x1?4x2?ax3?0(1)
与方程
x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解。
（22）（本题满分11分）
(2)
设3阶实对称矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量。记B?A?4A?E，其中E为3阶单位矩阵。
（Ⅰ）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B。 （23）（本题满分11分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
53?2?x?y,0?x?1,0?y?1.f(x,y)??
0,其他?（Ⅰ）求P?X?2Y?；
（Ⅱ）求Z?X?Y的概率密度fZ(z)。 （24）（本题满分11分） 设总体X的概率密度为
?10?x??,?2?，??1.
f(x;?)??,??x?1,?2(1??)?0，其他??其中参数?(0???1)未知，X1,X2,...Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值。
?； （Ⅰ）求参数?的矩估计量?生命不息 - 27 - 奋斗不止
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（Ⅱ）判断4X是否为?2的无偏估计量，并说明理由。
22006年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. (1) lim??n?1??n???n???1?n?______.
f?x?(2) 设函数f(x)在x?2的某邻域内可导，且f??x??e，f?2??1，则
f????2??____ .(3) 设函数f(u)可微，且f??0??1，则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处的全微分2dz?1,2??_____.
?21?(4) 设矩阵A??矩阵B满足BA?B?2E，则B? . E为2阶单位矩阵，?，
?12??(5)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则
P?max?X,Y??1??_______.
(6) 设总体X的概率密度为f?x??1?xe????x????,X1,X2,?,Xn为总体X22的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES?____.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7) 设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则（）
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . (8) 设函数f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则（）
生命不息 - 28 - 奋斗不止
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(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在 (C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 (9) 若级数
?an?1?n收敛，则级数（）
(A)
?an?1??n收敛 . （B）
?(?1)n?1??nan收敛.
(C)
?anan?1收敛. (D)
n?1an?an?1收敛. ?2n?1(10) 设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解是（）
(A) C?y1(x)?y2(x)?. (B) y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?. (C) C?y1(x)?y2(x)?. (D) y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? (11) 设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (12) 设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.
(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关.
(13) 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到生命不息 - 29 - 奋斗不
止
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?110???第2列得C，记P??010?，则（）
?001???(A) C?P?1AP. (B) C?PAP?1.
(C) C?PTAP. (D) C?PAPT.
2(14) 设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，随机变量Y服从正态分布N(?2,?2)，
且
P?X??1?1??P?Y??2?1?
则必有（）
(A) ?1??2 (B) ?1??2 (C) ?1??2 (D) ?1??2
三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设f?x,y??yy?,x?0,y?0，求： 1?xyarctanxy???1?ysin?x(Ⅰ)g?x??limf?x,y?；
g?x?。 (Ⅱ)lim?x?0（16）（本题满分7分） 计算二重积分域。
（17）（本题满分10分） 证明：当0?a?b??时，
??Dy2?xydxdy，其中D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a
（18）（本题满分8分）
在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M?1,0?，其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）。
生命不息 - 30 - 奋斗不
止