全国硕士研究生入学统一考试
?1??1??1??1?? （B）?? （A）???1??1?????0?0????1???1???1????1? （D）?? （C）????1??1?????00?????0?1?(7) 设随机变量的分布函数F(x)???2?x??1?e（A）0 （B）
x?00?x?1，则P?X?1?? x?111 （C）?e?1 （D）1?e?1
22(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为??1,3?上的均匀分布的概率密度，
?af1(x)f(x)?若??bf2(x)x?0x?0(a?0,b?0)为概率密度，则a,b应满足
（A）2a?3b?4 （B）3a?2b?4 （C）a?b?1 （D）a?b?2
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数y?y(x)由方程
?x?y0e?tdt??xsint2dt确定，则
02xdydx?______.
x?0(10) 设位于曲线y?1x(1?lnx)2(e?x???)下方，x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是______.
(11) 设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1?p，其中p为价格，且R(1)?1，则R(p)?______.
(12) 若曲线y?x?ax?bx?1有拐点(?1,0),则b?______.
(13) 设A，B为3阶矩阵，且A?3，B?2，A?1?B?2，则A?B?1?______.
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止
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(14) 设x1，x2，xn为来自整体N(?,?)(??0)的简单随机样本，记统计量
21n2T??Xi，则ET?______.
ni?1三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分) 求极限lim(x?1)x???1x1lnx
(16) (本题满分10分) 计算二重积分
??(x?y)dxdy，其中D由曲线x?D31?y2与直线x?2y?0及
x?2y?0围成。
(17) (本题满分10分)
求函数u?xy?2yz在约束条件x?y?z?10下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较
222?10lnt?ln(1?t)?dt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小，说明理由
0n1（Ⅱ）设un??10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?)，求极限limun
n??n(19) (本题满分10分) 设函数f(x)在
2?0,3?上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且
2f(0)??f(x)dx?f(2)+f(3)，
0（Ⅰ）证明：存在??(0,2)，使f(?)?f(0) （Ⅱ）证明：存在??(0,3)，使f(?)?0 (20) (本题满分11分)
\11????a?????设A?0??10，b?1 ??????1???1??1??已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解 （Ⅰ）求?，a
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止
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（Ⅱ）求方程组Ax?b的通解 (21) (本题满分11分)
?0?14???T设A??13a，正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵，若Q的第1列为
????4a0??1T,求a，Q (1,2,1)6(22) (本题满分11分)
?2x设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)?Ae2?2xy?y2，
???x???,???y???,求常数A及条件概率密度fYX(yx)
(23) (本题满分11分)
箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数，
（Ⅰ）求随机变量(X，Y)的概率分布 （Ⅱ）求Cov(X，Y)
生命不息 - 13 - 奋斗不止
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2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x?x3（1）函数f(x)?的可去间断点的个数为
sin?x(A)1. (B)2.
(C)3.
2 (D)无穷多个.
（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?xln(1?bx)是等价无穷小，则 (A)a?1，b??. （B）a?1，b?1616xsint（3）使不等式?dt?lnx成立的x的范围是
1t(C)a??1，b??. (A)(0,1).
(B)(1,1. 61 （D）a??1，b?.
6? ). (C)(,?).
22? (D)(?,??).
（4）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
f(x) 1 O -1 x-2 1 2 3 x
则函数F?x???f?t?dt的图形为
0f(x) 1 O -1 f(x) 1 -2 (A)
1 2 3 x (B)
-2 -1 O 1 2 3 x
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f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)
x (D)
?*-2 -1 O 1 2 3 x
（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|?2,|B|?3，则分
?OA?块矩阵??的伴随矩阵为
BO???O(A)?*?2A?O(C)?*?2B3B*??. O?3A*??. O??O (B)?*?3A
2B*??. O?2A*??. O??O (D)?*?3B?100???T（6）设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PAP??010?，
?002???若P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QAQ为
T?210???(A)?110?.
?002????200???(C)?010?.
?002???
?110??? (B)?120?.
?002????100??? (D)?020?.
?002???
（7）设事件A与事件B互不相容，则 (A)P(AB)?0.
(B)P(AB)?P(A)P(B). (D)P(A?B)?1.
(C)P(A)?1?P(B).
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为
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