2011年高考数学试题分类汇编 - - 6 - -
q? ．2
20．（本小题满分14分） 设b>0,数列{an}满足a1?b,an?（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n,2an?b解：（1）由a1?b?0可知an?1b1b1bn?1nban?1an?1?n?1(n?2)．
?1．
nban?1an?1?n?1,?nan?1b?1n?1ban?1,令An?nan,则A1?1b，
当n?2时，An??An-1=??+1bn?1?1bn?1A1?1b??+1bn?1?1bn
1①当b?1时，An?b(1?1?1b1b)n?nbn(b?1),b?1b?1??n ；②当b=1时，An?n?an??bn?1；b(b?1)?1,b?1?n（2）当b?1时，欲证2an?n2nb(b?1)b?1nn?bn?1?1,
只需证2nb?(bnn?1?1)b?1b?1，
?(bn?1?1)b?1b?11?bn?b2n?b12n?1???b1bn?1?bn?1?bn?2???1?b(b?nnn?1bn?bn?1???b?)
?b(2?2???2)?2nb，?2an?n?1nn2nb(b?1)b?1nn?1?bn?1；
当b?1时，2an?2?b?1，综上所述2an?bn?1+1。
湖北理12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差
数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】
6766
解析：设该数列?an?的首项为a1，公差为d，依题意
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4?a?7d?1??a1?a2?a3?a4?3?4a1?6d?3?3，即?，解得?， ??3a1?21d?4?a7?a8?a9?4?d?7?66?则a5?a1?4d?a1?7d?3d?43?2166?6766，所以应该填
6766.
19.（本小题满分13分）
r?R,r??1). 已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足：a1?a(a?0)，an?1?rSn (n?N，
*
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若存在k? N，使得Sk?1，Sk，Sk?2成等差数列，试判断：对于任意的m?N，且m?2，
am?1，am，am?2是否成等差数列，并证明你的结论.
*
*
解：（Ⅰ）由已知：an?1?rSn得an?2?rSn?1，两式相减得an?2?(r?1)an?1，又a2?ra 所以当r?0时数列?an?为：a，0，0，0，?，
当r?0,r??1时，由已知a?0，所以an?0，n?N，于是
n?2?an?2an?1a
?1?r,(n?N)
?所以数列a2,a3,?,an成等比数列，即当n?2时an?r(1?r)n?1?a综上数列?an?的通项公式为an?? n?2r(1?r)a,n?2?（Ⅱ）对于任意的m?N，且m?2，am?1，am，am?2成等差数列，证明如下： 当r?0时由（Ⅰ）知an???a?0*
?n?1n?2，此时am?1，am，am?2成等差数列；
当r?0,r??1时，若存在k? N，使得Sk?1，Sk，Sk?2成等差数列，则2Sk=Sk?1+Sk?2 ∴2ak?1?ak?2?0，由（Ⅰ）知数列a2,a3,?,an的公比r?1??2，于是对于任意的m?N，且m?2，
am?2??2am?1?am?2?4am；所以2am=am?1+am?2即am?1，am，am?2成等差数列；
*
综上：对于任意的m?N，且m?2，am?1，am，am?2成等差数列。 湖北文17.（本小题满分12分）
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成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列?bn?中的b、b、b。
(I) 求数列?bn?的通项公式； (II) 数列?bn?的前n项和为S，求证：数列?Sn???5??是等比数列。 4?解：(I)设成等差数列的三个正数分别为a?d,a,a?d；则a?d?a?a?d?15?a?5； 数列?bn?中的b、b、b依次为7?d,10,18?d，则(7?d)(18?d)?100； 得d?2或d??13（舍），于是b3?5,b4?10?bn?5?254n?3
Sn?1??55?2n?1(II) 数列?bn?的前n项和Sn?5?2n?2?，即Sn?54?5?2n?24??2 n?255?2Sn?4因此数列?Sn???5??是公比为2的等比数列。 4?
湖南文20．（本题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（I）求第n年初M的价值an的表达式； （II）设An?a1?a2???ann,若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M
更新，证明：须在第9年初对M更新．
解析：（I）当n?6时，数列{an}是首项为120，公差为?10的等差数列． an?120?10(n?1)?130?10n; 当n?6时，数列{an}是以a6为首项，公比为 an?70?()43n?634为等比数列，又a6?70，所以
;
?120?10(n?1)?130?10n,n?6?因此，第n年初，M的价值an的表达式为an?? 3n?6an?70?(),n?7??4
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(II)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1?n?6时，Sn?120n?5n(n?1),An?120?5(n?1)?125?5n; 当n?7时，
Sn?S6?(a7?a8???an)?570?70?780?210?()4An?n3n?633n?63n?6?4?[1?()]?780?210?()444
.因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又
38?639?6780?210?()780?210?()477944A8??82?80,A9??76?80,
864996所以须在第9年初对M更新．
湖南理12、设Sn是等差数列{an}(n?N)的前n项和，且a1?1,a4?7，则S5?______ 答案：25
解析：由a1?1,a4?7可得a1?1,d?2,an?2n?1，所以S5?(1?9)?52?25。
*江苏13.设1?a1?a2???a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________. 答案：33. 解析：由题意：1?a1?a2?q?a2?1?q?a2?2?q，
?a2?q?a2?1,a2?1?q?a2?2
q?a2?2?3，而?a2?1,a1?1,?a2,a2?1,a2?23223的最小值分别为1，2，3；?qmin?33.
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.
20.（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1?1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立. （1）设M=｛1｝，a2?2，求a5的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式. 答案:（1）?k?1,??n?1,Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1),?Sn?2?Sn?2(Sn?1?S1)即：
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an?2?an?2an?1
所以，n>1时，?an?成等差，而a2?2，S2?3,S3?2(S2?S1)?S1?7,?a3?4,?a5?8; （2）由题意：?n?3,Sn?3?Sn?3?2(Sn?S3),(1);?n?4,Sn?4?Sn?4?2(Sn?S4),(2)，
?n?2,Sn??Sn??2(Sn??S),(3);?n?3,Sn??Sn??2(Sn??S),(4);
当n?5时，由（1）（2）得：an?4?an?3?2a4,(5) 由（3）（4）得： an?5?an?2?2a4,(6) 由（1）（3）得：an?4?an?2?2an?1,(7); 由（2）（4）得：an?5?an?3?2an?1,(8);
由（7）（8）知：an?4,an?1,an?2,成等差，an?5,an?1,an?3,成等差；设公差分别为：d1,d2, 由
（
5
）
（
6
）
得
：
an?5?an?3?2d2?an?4?2a4?2d2,(9);an?4?an?2?2d1?an?5?2a4?2d1,(10);
由（9）（10）得：an?5?an?4?d2?d1,2a4?d1?d2,an?2?an?3?d2?d1;??an?(n?2)成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2?15d?2(2a1?5a2?5d),即4a2?5d??2;
2a1?8a2?28d?2(2a1?7a2?9d),即3a2?5d??1 ?a2?3,d?2,?an?2n?1.
解析：本题主要考查数列的概念,通项与前n项和的关系,等差数列概念及基本性质、和与通项关系、集合概念、全称量词,转化与化归、考查分析探究及逻辑推理解决问题的能力，其中（1）是中等题，（2）是难题.
江西理5. 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?Sm?Sn?m，且a1?1，那么a10? A.1 B.9 C.10 D.55 【答案】A
【解析】S2?S1?S1?2，可得a2?1，S3?S1?S2?3，可得a3?S3?S2?1，同理可得a4?a5???a10?1，故选A 18. （本小题满分12分）
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