2011年高考数学试题分类汇编 - - 11 - -
已知两个等比数列{an}，满足a1?a(a?0)，b1?a1?1，b2?a2?2，b3?a3?3. {bn}，（1）若a?1，求数列{an}的通项公式； （2）若数列{an}唯一，求a的值.
【解析】（1）设{an}的公比为q，则b1?1?a?2，b2?2?aq?2?q，
b3?3?aq2?3?q，由b1，b2，b3成等比数列得(2?q)?2(3?q)，
222即q2?4q?2?0，解得q1?2?所以{an}的通项公式an?(2?2)22，q2?2?n?12
或an?(2?22)n?1.
2（2） 设{an}的公比为q，则由(2?aq)?(1?q)(3?aq)，得aq?4aq?3a?1?0(*)
由a?0得??4a?4a?0，故方程（*）有两个不同的实根. 由{an}唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得a?132.
江西文5.设{an}为等差数列，公差d = -2，Sn为其前n项和.若S10?S11，则a1=（ ） A.18 B.20 C.22 D.24
答案：B 解析：
?S10?S11,?a11?0a11?a1?10d,?a1?20
21.(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列?an?,?bn?，满足a1?a?a?0?,b1?a1?1,b2?a2?2,b3?a3?3， 若数列?an?唯一，求a的值；
（2）是否存在两个等比数列?an?,?bn?，使得b1?a1,b2?a2,b3?a3,b4?a4成公差不为0
?的等差数列？若存在，求 ?an?,?bn? 的通项公式；若不存在，说明理由．
?解：（1）?an?要唯一，?当公比q1?0时，由b1?1?a?2,b2?2?a2,b3?3?a3且b2?b1b3??2?aq1???1?a?3?aq1222?2??aq21?4aq1?3a?1?0，
?a?0，?aq1?4aq1?3a?1?0最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
??4a??4a?3a?1??0?4a?a?1??0，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
2?当公比q1?0时，等比数列?an?首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由
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?2?aq1?2综上：a???1?a?3?aq1?2??aq21?4aq1?3a?1?0，可推得3a?1?0,a?13符合
13。
（2）假设存在这样的等比数列?an?,?bn?,公比分别为q1，q2，则由等差数列的性质可得：
?b2?a2???b3?a3???b1?a1???b4?a4?，整理得：?b1?b3??q2?1???a1?a3??q1?1?
要使该式成立，则q2?1=q1?1?0?q1?q2?1或b1?b3?a1?a3?0此时数列b2?a2，
b3?a3公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列?an?,?bn?。
辽宁理17．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列??an?的前n项和． n?1?2???a1?d?0,（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得?
2a?12d??10,?1解得??a1?1,?d??1.故数列{an}的通项公式为an?2?n. ??????5分
（II）设数列{an2}的前n项和为Sn，即Sn?a1?n?1a22???an2n?1,故S1?1，
Sn2?a12?a24???an2n.所以，当n?1时，
Sn2?a1?a2?a12???an?an?12n?1?an2n
?1?(12?14n???12n?1?2?n2n)?1?(1?12)?n?12?n2n
所以Sn?2n?1.综上，数列{an2}的前n项和Sn?n?1n2n?1. ??????12分
辽宁文5．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为 B
A．2 B．4 C．8 D．16 15．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．—1 全国Ⅰ理
（17）（本小题满分12分）
等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a3?9a2a6.
2（Ⅰ)求数列?an?的通项公式；
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（Ⅱ）设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列?23?1??的前?bn?2n项和.
2（17）解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3?9a2a6得a3?9a4所以q?由条件可知a>0,故q?1319。
。
13由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?故数列{an}的通项式为an=
13n。
。
n(n?1)2（Ⅱ ）bn?log3a1?log3a2?...?log3an=?(1?2???n)??故
1bn??2n(n?1)1bn??2(1n?1n?1)
1b1?1b2?...???2((1?12)?(12?13)?...?(1n?1n?1))??2nn?1
所以数列{1bn}的前n项和为?2nn?1
全国Ⅰ文（17）（本小题满分12分） 设等差数列?an?满足a3?5，a10??9。 （Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）求?an?的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。
解：（Ⅰ）由an?a1?(n?1)d及a3?5，a10??9得a1?9,d??2； 所以数列?an?的通项公式为an?11?2n
（Ⅱ）Sn?10n?n??(n?5)?25，所以n?5时Sn取得最大值。
22
全国Ⅱ理（4）设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，Sk?2?Sk?24，则k?
(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
【答案】：D 【命题意图】：本小题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式等有关知识。 【解析】：Sk?2?Sk?ak?2?ak?1?2ak?1?d?2(a1?kd)?d?2(1?2k)?2?24，解得
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k?5。
另外：本题也可用等差数列的前n项和公式进行计算。 （20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
设数列{an}满足a1?0且
11?an?1?11?an?1.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
1?an?1nn（Ⅱ）设bn?，记Sn??bk?1k，证明：Sn?1.
【命题立意】：本小题主要考查数列的通项公式、等差数列的概念、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，
同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力。在解题过程中也渗透了化归与转化思想方法.难度较小， 学生易得分。 【解析】：（Ⅰ）由数列。
?11?an?1?(n?1)?1?n,?an?1?1n11?an?1?1?1???1知数列?是首项为?1，公差为1的等差?1?an1?a1?a?1n??1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?nn1?an?1n1??1?n1n?1?1?nn?1n?1n?1n?1
?Sn??k?1bk??k?1(1n?1n?1)?1?1n?1?1
全国Ⅱ文(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．
设等比数列?an?的前n项和为Sn,已知a2?6,6a1?a3?30,求an和Sn 【解析】设等比数列?an?的公比为q，由题
?a1q?6,?a1?3,?a1?2,或?解得 ??2?q?2,?q?3.?6a1?a1q?30,所以
如果a1?3,则an=a1qn?1?3?2n?1.Sn=a1(1?q)1?qn?3?2?3
n
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如果a1?2,则an=a1q山东理
15. 设函数f(x)?f1(x)?f(x)?xx?2n?1?2?3n?1.Sn=a1(1?q)1?qn?3?1
nxx?2(x?0),观察:
, x, , ,
f2(x)?f(f1(x))?f3(x)?f(f2(x))?f4(x)?f(f3(x))?3x?4x7x?8x15x?16??
根据以上事实，由归纳推理可得：
?当n?N且n?2时，fn(x)?f(fn?1(x))? .
【答案】
x(n?1)x?n22
【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为x?2,3x?4,7x?8,15x?16,即
(2?1)x?2,(4?1)x?4,(8?1)x?8,(16?1)x?16,所以归纳出分母为fn(x)?f(fn?1(x))的
?22分母为(n?1)x?n,故当n?N且n?2时，fn(x)?f(fn?1(x))?x(n?1)x?n22.
20.（本小题满分12分）
等比数列?an?中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 3 第一行 第二行 第三行 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若数列?bn?满足：bn?an?(?1)lnan，求数列?bn?的前2n项和S2n.
【解析】（Ⅰ）由题意知a1?2,a2?6,a3?18,因为?an?是等比数列,所以公比为3,所以数列
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