2011年高考数学试题分类汇编 - - 16 - -
?an?的通项公式an?2?3n?1.
n?1（Ⅱ）因为bn?an?(?1)lnan=2?3?(?1)ln2?3n?1, 所以Sn?b1?b2???bn?
nn(a1?a2???an)?(lna1?lna2??lnan)n12n?1=
2(1?3)1?3-
lna1a2an=3?1-
ln(2?1?3?3???3n(n?1))=
2n(2n?1)2n3?1-ln(2?3nn2),所以S2n=3?1-ln(22n?32)=9?1-2nln2?(2n?n)ln3.
n2（20）（本小题满分12分）
等比数列?an?中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 3 第一行 第二行 第三行 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若数列?bn?满足：bn?an?(?1)lnan，求数列?bn?的前2n项和S2n.
n山东文没有新题
陕西理13．观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
??
照此规律，第n个等式为 . 【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．
【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n?1；等式右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
?? ?? ?? 所以n?(n?1)???[n?(2n?1)?1]?(2n?1)， 即n?(n?1)???(3n?2)?(2n?1)
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【答案】n?(n?1)???(3n?2)?(2n?1)2
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题． 【解】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图），
1 2 ? i ? 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是
s?(i?1)?10?(i?2)?10???(i?i)?10?[(i?1)?i]?10???(20?i)?10
?10?[i?i?2i(i?1)2?i?(20?i)?(20?i)(i?1?20)2]
?10(i?21i?210)，所以当i?10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的
最小值是2000米.
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10?(1?2???19)?2?10?19(1?19)2?2?3800；树苗放在第
10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10?(1?2???9)?10?(1?2???10)?2
?10?9?(1?9)2?2?10?10?(1?10)2?2?900?1100?2000，所以路程总和最小为2000
米.
【答案】2000 19．（本小题满分12分）
如图，从点P1（0，0）作x轴的垂线交曲线y?e于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2．再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1,Q1；． P2,Q2；?；Pn,Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)（k?0,1,2,?,n）（1）试求xk与xk?1的关系（2剟kn）；
x（2）求|P1Q1|?|P2Q2|?|P3Q3|???|PnQn|． 【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交点坐标；（2）尝试求出通项|PnQn|的表达式，然后再求和．
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【解】（1）设点Pk?1的坐标是(xk?1,0)，∵y?ex，∴y??ex， ∴Qk?1(xk?1,exk?1)，在点Qk?1(xk?1,exk?1)处的切线方程是y?exk?1?exk?1(x?xk?1)，
令y?0，则xk?xk?1?1（2剟k． n）
（2）∵x1?0，xk?xk?1??1，∴xk??(k?1)， ∴|PkQk|?exk?e?(k?1)，于是有
1?e1?e?n?1|P1Q1|?|P2Q2|?|P3Q3|???|PnQn|?1?e1?n?1?e?2???e?(k?1)?
?e?ee?1，
即|P1Q1|?|P2Q2|?|P3Q3|???|PnQn|?e?e1?ne?1．
陕西文10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为．．．．（ ） （A）①和
（B）⑨和⑩ (C) ⑨和
(D) ⑩和
【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论． 【解】选D （方法一） 选项 A ①和具体分析 ：10?(1?2???19)?2?3800 结论 ⑨：10?[(1?2???8)?2?(1?2???11)?2]?2040 B ⑩：10?(1?2???9)?10?(1?2???10)?2=2000 C D
：10?(1?2???9)?10?(1?2???10)?2=2000 ⑩和：路程和都是2000 比较各个路程和可知D符合题意 （方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11
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个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10?(1?2???19)?2?10?放在第
10
个（或第
11
19(1?19)2?2?3800；树苗
个）树坑旁边时，路程总和是
9?(1?9)2?2?10?10?(1?10)2?2
10?(1?2???9)?10?(1?2???10)?2?10??900?1100?2000，所以路程总和最小为2000米.
上海理
14.已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足?|OQ1|?2??|OR1|?2??0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足?|OQ2|?2??|OR2|?2??0.依次下去，得到
P1,P2,?,Pn,?，则lim|Q0Pn|? .
n??3
18.设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai,ai?1的矩形的面积（i?1,2,?），则{An}为等比数列的充要条件是（ ）D （A）{an}是等比数列.
（B）a1,a3,?,a2n?1,?或a2,a4,?,a2n,?是等比数列. （C）a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列.
（D）a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列，且公比相同.
22.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an?3n?6，bn?2n?7（n?N*).将集合{xx?an,n?N*}?{xx?bn,n?N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列
c1,c2,c3,?,cn,?
（1）写出c1,c2,c3,c4；
（2）求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,?,a2n,?； （3）求数列{cn}的通项公式. 22、? c1?9,c2?11c,3?* 312c4,?；1? ① 任意n?N，设a2n?1?3(2n?1)?6?6n?3?bk?2k?7，则k?3n?2，即
a2n?1?bn3?2
② 假设a2n?6n?6?bk?2k?7?k?3n?12?N（矛盾），∴ a2n?{bn}
*
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∴ 在数列{cn}中、但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,?,a2n,?。 ? b3k?2?2(3k?2)?7?6k?3?a2k?1，
b3k?1?6k?5，a2k?6k?6，b3k?6k?7
∵ 6k?3?6k?5?6k?6?k6 ?∴ 当k?1时，依次有b1?a1?c1,b2?c2,a2?c3,b3?c4，??
?6k?3(n?4k?3)??6k?5(n?4k?2)*∴ cn??,k?N
?6k?6(n?4k?1)??6k?7(n?4k) 上海文 2、 计算lim(1?n??3nn?3)= ?2
23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an?3n?6，bn?2n?7（n?N*).将集合{xx?an,n?N*}?{xx?bn,n?N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列
c1,c2,c3,?,cn,?
（1）求三个最小的数，使它们既是数列{an}中的项，又是数列{bn}中的项； （2）数列c1,c2,c3,?,c40中有多少项不是数列{bn}中的项？请说明理由； （3）求数列{cn}的前4n项和S4n(n?N*). 23、解：? 三项分别为9,15,21。 ? c1,c2,c3,?,c40分别为
9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37, 39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67
? b3k?2?2(3k?2)?7?6k?3?a2k?1，b3k?1?6k?5，a2k?6k?6，b3k?6k?7 ∵ 6k?3?6k?5?6k?6?k6 ?
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