高三数学一轮复习精品导学案：第八章 平面解析几何
第二节 直线与圆
【高考目标定位】
一、圆的方程 （一）考纲点击
1、掌握确定圆的几何要素；
2、掌握确定圆的标准方程与一般方程。 （二）热点提示
1、能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程； 2、直线和圆的位置关系是考查的热点；
3、本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现，属中低档题目。 二、直线、圆的位置关系 （一）考纲点击
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 （二）热点提示
1、直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题，主要考查： （1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断； （2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围； （3）利用相切或相交求圆的切线或弦长。
2、本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。
【考纲知识梳理】
一、圆的方程 1．圆的定义
（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。 2．圆的方程 方程 圆心坐标 半径 r 圆的标准方程 圆的一般方程 (x?a)2?(y?b)2?r2(r?0) （a,b） x2?y2?Dx?Ey?F?0 ?DF???,?? 2??21D2?E2?4F 222注：方程x?y?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是D2?E2?4F?0
3．点与圆的位置关系
已知圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，点M(x0,y0)。则： （1）点在圆上：(x0?a)2?(y0?b)2?r2； （2）点在圆外：(x0?a)2?(y0?b)2?r2； （3）点在圆内：(x0?a)2?(y0?b)2?r2。 4．确定圆的方程方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组； （3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。
注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）
二、直线、圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 几何特征（圆心到直线的距离d，半相离 0个 相切 1个 相交 2个 d?r d?r d?r 径r） 代数特征（直线与圆的方程组成的方程组） 无实数解 有两组相同实数解 有两组不同实数解 注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。
2．圆与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 几何特征（圆心距d，两圆半径R，r，外离 0 外切 1 相交 2 内切 1 内含 0 d?R?r d?R?r R?r?d?R?r d?R?r d?R?r R?r） 代数特征（两个圆的方程组成的方程组） 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 【热点难点精析】
一、圆的方程 （一）圆的方程的求法 ※相关链接※
1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.
2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为：x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0),由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。
3．以
为直径的两端点的圆的方程为
2222(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0
注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在任一弦的中垂直上；
（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 ※例题解析※
〖例〗求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程。
思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐。 解答：（方法一） 设所求的圆的方程是(x?a)2?(y?b)2?r2， 则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为|a?b|， 2∴
即2r2?(a?b)2?14………………………………………………① 由于所求的圆与x轴相切，∴r2?b2………………………………② 又因为所求圆心在直线3x-y=0上，
∴3a-b=0………………………………………………………………③ 联立①②③，解得a=1,b=3,r=9或a=-1,b=-3, r=9.
故所求的圆的方程是：(x?1)?(y?3)?9或(x?1)?(y?3)?9 （方法二）设所求的圆的方程是
=0，圆心为
222222，半径为
与x轴相切，得⊿=0，即
……④
令y=0，得=0，由圆
又圆心到直线x-y=0的距离为
由已知，得即
…………………………………………⑤
又圆心
联立④⑤⑥，解得
在直线3x-y=0上，∴3D-E=0…………………………⑥
D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1。 故所求圆的方程是
（二）与圆有关的最值问题 ※相关链接※
1．求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。
=0或
如（1）形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by
的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m=
的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。
2．特别要记住下面两个代数式的几何意义：
表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率，
距离。
※例题解析※
〖例〗已知实数x、y满足方程x?y?4x?1?0。
22表示点（x,y）与原点的
y的最大值和最小值； x（2）求y-x的最大值和最小值；
（1）求
（3）求x?y的最大值和最小值。
思路解析：化x，y满足的关系为(x?2)?y?3?理解何意义?根据几何意义分别求之。
解答：（1）原方程可化为(x?2)?y?3，表示以（2，0）为圆心，3为半径的圆，222222y22，y-x，x?y的几x