yy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=k，即y?kx。当直线y?kx与xx圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k?0|k?12?3，解得k=±3。
y的最大值为3，最小值为﹣3 x（2）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距
所以
b取得最大值或最小值，此时|2?0?b|?3，解得b??2?6。所以y-x的最大值为2?2?6，最小值为?2?6。
（3）x2?y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为
(2?0)2?(0?0)2?2，所以x2?y2的最大值是(2?3)2?7?43，x2?y2的最小值
是(2?3)2?7?43。
（三）与圆有关的轨迹问题 ※相关链接※
1．解决轨迹问题，应注意以下几点：
（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。
（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为(x0,y0)等。 （3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。
2．求轨迹方程的一般步骤： （1）建系：设动点坐标为（x,y）； （2）列出几何等式； （3）用坐标表示得到方程； （4）化简方程；
（5）除去不合题意的点，作答。 ※例题解析※
〖例〗设定点M（-3，4），动点N在圆x2?y2?4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。
思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。
解答：如图所示，
设P（x,y），N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为(,)，线段MN的中点坐标为
xy22(x0?3y0?4,)。因为平行四边形的对角线互相平分，故22?x0?x?3xx0?3yy0?4。N（x+3,y-4）在圆上，故(x?3)2?(y?4)2?4。?,?,从而?2222?y0?y?4因此所求轨迹为圆：(x?3)2?(y?4)2?4，担应除去两点：(?,在OM所在的直线上时的情况）。
（四）有关圆的实际应用
〖例〗有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？
思路解析：根据条件，建立适当坐标系，求出点P的轨迹方程，进而解决相关问题。 解答：如图，
9122128)和(?,)（点P5555
以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，∵|AB∣=10，∴A（-5，0），B（5，0）。设P（x,y）,P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）。当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，
2222∴3a·(x?5)?y=a·(x?5)?y. 25215)?y2?()2 442515（1）当P点在以（-，0）为圆心、为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总44化简整理，得(x?费用相等。
（2）当P点在上述圆内时，
(x?25215)?y2?()2,4425215)?y2?()2]?0 44?[9(x?5)2?9y2]?[(x?5)2?y2]?8[(x??3(x?5)2?y2?(x?5)2?y2.故此时到A地购物合算.当P点在上述圆外时，
(x?25215)?y2?()2,4425215)?y2?()2]?0 44?[9(x?5)2?9y2]?[(x?5)2?y2]?8[(x??3(x?5)2?y2?(x?5)2?y2.故此时到B地购物合算.注：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决。
二、直线、圆的位置关系 （一）直线和圆的位置关系 ※相关链接※
直线和圆的位置关系的判定有两种方法
（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式⊿来讨论位置关系，即
⊿>0?直线与圆相交; ⊿=0?直线与圆相切; ⊿<0?直线与圆相离.
（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即 d
〖例〗已知圆x2?y2?6mx?2(m?1)y?10m2?2m?24?0(m?R). （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上； （2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。
思路解析：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。
解答：（1）配方得：(x?3m)2?[y?(m?1)]2?25,设圆心为(x,y)，则?消去m得l:x?3y?3?0,则圆心恒在直线l:x?3y?3?0,。
（2）设与l平行的直线是：x?3y?b?0，
?x?3m，
?y?m?1当?510?3?b?510?3时，直线与圆相交；b??510?3时，直线与圆相切；
b??510?3或b?510?3时，直线与圆相离.（3）对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x?3y?b?0，由于圆心到直线l1的距离
d?|3?b|22（与m无关）。弦长=2r?d且r和d均为常量. 10∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。 （二）圆与圆的位置关系 ※相关链接※
1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；
2．若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项即可得到；
3．两圆公切线的条数（如下图）
O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2
（1）两圆内含时，公切线条数为0； （2）两圆内切时，公切线条数为1； （3）两圆相交时，公切线条数为2； （4）两圆外切时，公切线条数为3； （5）两圆相离时，公切线条数为4。
因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。
※例题解析※
〖例〗求经过两圆(x?3)?y?13和x?(y?3)?37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程 222222??(x?3)?y?13思路解析：根据已知，可通过解方程组?2得圆上两点，由圆心在直线2??x?(y?3)?37x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为(x?3)?y?13??(x?(y?3)?37)?0，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程 解答：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，
2222所以设所求圆的方程为(x?3)?y?13??(x?(y?3)?37)?0 2222323?24?28?9(1??2))+(y?)=展开、配方、整理，得(x?+ 21??1??1??(1??)