圆心为(?33?,?)，代入方程x－y－4=0，得λ=－7 1??1??127289故所求圆的方程为(x?)?(y?)? 222注：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆
（三）圆的切线及弦长问题 ※相关链接※ 1．求圆的切线的方法
（1）求圆的切线方程一般有两种方法： ①代数法：设切线方程为
与圆的方程组成方程组，消元后得
到一个一元二次方程，然后令判别式⊿=0进而求得k。
②几何法：设切线方程为
心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。
两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。
注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况。
（2）若点M(x0,y0)在圆x?y?r上，则M点的圆的切线方程为x0x?y0y?r2。 2．圆的弦长的求法
222利用点到直线的距离公式表示出圆
（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则。
（2）代数法：设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，解方程组
?y?kx?b消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1?x2,x1,x2,则弦?222(x?x)?(y?y)?r00?长为
|AB|?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2](k为直线斜率)。
（四）直线、圆位置关系的综合应用
〖例〗如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为
x?3y?6?0, 点T(?11)，在AD边所在直线上．
（I）求AD边所在直线的方程；
（II）求矩形ABCD外接圆的方程；
（III）若动圆P过点N(?2， 0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的方程．解答：（I）因为AB边所在直线的方程为x?3y?6?0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为?3．又因为点T(?11)，在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y?1??3(x?1)．3x?y?2?0．-----------------3分
?x?3y?6?0，（II）由?解得点A的坐标为(0，?2)， ------------4分
3x?y?2=0?因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)．
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． -----------------6分
又AM?(2?0)2?(0?2)2?22．
22从而矩形ABCD外接圆的方程为(x?2)?y?8．----------------------9分
（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切， 所以PM?PN?22，即PM?PN?22．------------------------11分
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长a?2，半焦距c?2．
22所以虚半轴长b?c?a?2．
x2y2??1(x≤?2)． -----------------14分 从而动圆P的圆心的轨迹方程为
22【感悟高考真题】
1．（2010江西理数）8.直线y?kx?3与圆?x?3???y?2??4相交于M,N两点，若
22MN?23，则k的取值范围是
3???3??，0??，?????44????A. B.
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用. 解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当|MN|?23时，由点到直线距离公式，解得[??33??2?，???????，0??0，?33? D. ?3? C. ?3,0]； 4解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取??，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A
2．（2010安徽理数）9、动点A?x,y?在圆x2?y2?1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t?0时，点A的坐标是(,13)，则当0?t?12时，动点A的22纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A、?0,1? 9.D
【解析】画出图形，设动点A与x轴正方向夹角为?，则t?0时??在t??0,1?上??[递增的。
【方法技巧】由动点A?x,y?在圆x?y?1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与
22B、?1,7? C、?7,12? D、?0,1?和?7,12?
?3，每秒钟旋转
?，6??3?7?,]，在?7,12?上??[,]，动点A的纵坐标y关于t都是单调3223三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0,12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.
3．（2010全国卷2文数）（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB?4，若
O B N E A M OM?ON?3，则两圆圆心的距离MN? 。
【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识
∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为7，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，
∴ NE=3，同理可得ME?3，在直角三角形ONE中，∵ NE=3，ON=3，∴
?EON??6，
?MON?∴
?3，∴ MN=3
24．（2008·江苏卷18）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f?x??x?2x?b?x?R?的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）； 令f?x??x?2x?b?0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
2（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0
22令y＝0 得x?Dx?F?0这与x?2x?b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b．
令x＝0 得y?Ey＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1． 所以圆C 的方程为x?y?2x?(b?1)y?b?0. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）． 同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
22222【考点精题精练】
一、选择题
x?1??y2?1?ax?y?1?01．直线与圆相切，则a的值为（ A ）
A. 0 B. 1 C.2 D. ?1
2．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为（C） A.(x＋1)2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1 C.x2＋(y＋1)2＝1 D.x2＋(y－1)2＝1
23．（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知圆x2?y2?1与x轴的两个交点为
A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则PA?PB的取值范围为
--------------（ B ）
（A） ?0,? （B）??,0? （C）(?,0) （D）[?1,0)
222??1???1???14．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科） 已知AC,BD为圆O:x2?y2?4的两条互相垂直的弦，AC,BD交于点M1,2，则四边形ABCD面积的最大值为-----（ B ）
A 4 B 5 C 6 D 7
5．直线x+y+1=0与圆?x?1??y2?2的位置关系是 （ C ）
2?? A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 答案：C提示：圆心?1,0?,d?1?0?12?2?r，
?x??3?2cos??x?3cos?与?6．两圆?的位置关系是（ B ）
y?4?2sin?y?3sin???A．内切 B．外切 C．相离 D．内含
7．已知点P（x，y）是直线kx + y + 4 = 0（k > 0）上一动点，PA、PB是圆C：x2?y2?2y?0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ D ） A．3 答案：D
8．经过圆C:(x?1)2?(y?2)2?4的圆心且斜率为1的直线方程为（A）
A．x?y?3?0 B．x?y?3?0 C.x?y?1?0 D．x?y?3?0 9．已知圆的方程为x?y?6x?8y?0，设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB、
22B．21 2C．22 D．2
CD，则直线AB与CD的斜率之和为（B）
(A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) ?2
10．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x?4y?4?0相切，则圆的方
程是（ A ）
A．x?y?4x?0
22B．x?y?4x?0
22