h?r? 2mv?0??n2??2?n?1,2,3,?
r?r?式中mv?0?为一个粒子的动量mv与其轨道半径0的乘积，n为量子数，
2?2?h?6.63?10－34J?s为普朗克常量．
2．试求正、反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期T．你认为正、反顶
夸克的这种束缚态能存在吗? 四、（25分）宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小得很多，飞行器的速率为v0，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍．有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：Ⅰ. 当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；Ⅱ. 飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ. 小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰，不计燃烧的燃料质量． 1．试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系；
2．设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为E1．如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时，飞行器从发动机取得的能量的最小值用E2表示，问
E1为多少? E2 五、（25分）在真空中建立一坐标系，以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，z轴垂直纸面向里（图复17-5）．在0?y?L的区域内有匀强磁场，L?0.80m，磁场的磁感强度的方向沿z轴的正方向，其大小B?0.10T．今把一荷质比
q/m?50C?kg－1的带正电质点在x?0，y??0.20m，z?0处
静止释放，将带电质点过原点的时刻定为t?0时刻，求带电质点在磁场中任一时刻t的位置坐标．并求它刚离开磁场时的位置和速度．取重力加速度g?10m?s－2。
六、（25分）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B
第十七届全国中学生物理竞赛试题 第16页
组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体F的折射率．实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点O出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为?0，如图复17-6-1所示．最后光从另一端面出射进入流体
F．在距出射端面h1处放置一垂直于光
纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光
斑，测出其直径为d1，然后移动光屏D至距光纤出射端面h2处，再测出圆形光斑的直径d2，如图复17-6-2所示．
1．若已知A和B的折射率分别为nA与nB，求被测流体F的折射率nF的表达式． 2．若nA、nB和?0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出nF的值?
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第十七届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、参考解答
设玻璃管内空气柱的长度为h，大气压强为p0，管内空气的压强为p，水银密度为?，重力加速度为g，由图复解17-1-1可知 p?(l?h)?g?p0 （1） 根据题给的数据，可知p0?l?g，得
p??gh （2）
若玻璃管的横截面积为S，则管内空气的体积为
V?Sh （3） 由（2）、（3）式得
V?g （4） S即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程pV?nRT得
p?V2?nRT （5） ?gS由（5）式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，根据（4）式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化关系为p?V图上过原点的直线，如图复解17-1-2
所示．在管内气体的温度由T1降到T2的过程中，气体的体积由V1变到V2，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示，即有
?V12?V22?1?V1V2?W??g???(V1?V2)??g?? （6）
2?SS??2S?管内空气内能的变化
?U?nCV(T2?T1) （7） 设Q为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律W?Q??U，有
Q??U?W （8） 由（5）、（6）、（7）、（8）式代入得
1?? Q?n(T2?T1)?CV?R? （9）
2??代入有关数据得
Q??0.247J
Q?0表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为
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Q???Q?0.247J （10）
评分标准：本题20分 （1）式1分，（4）式5分，（6）式7分，（7）式1分，（8）式2分，（9）式1分，（10）式3分。
二、参考解答
在由直线BC与小球球心O所确定的平面中，激光光束两次折射的光路BCDE如图复解17-2所示，图中入射光线BC与出射光线DE的延长线交于G，按照光的折射定律有
n0sin??nsin? （1） 式中?与?分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知 sin??l （2） r激光光束经两次折射，频率?保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小p和p?相等，即
h??p? （3） c式中c为真空中的光速，h为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量p沿BC方向，射出小球的
p?光束中光子的动量p?沿DE方向，光子动量的方向
由于光束的折射而偏转了一个角度2?，由图中几何关系可知
2??2(???) （4） 若取线段GN1的长度正比于光子动量p，GN2的长度正比于光子动量p?，则线段N1N2的长度正比于光子动量的改变量?p，由几何关系得 ?p?2psin??2h?sin? （5） c?GN1N2为等腰三角形，其底边上的高GH与CD平行，故光子动量的改变量?p的方
向沿垂直CD的方向，且由G指向球心O．
光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即
?t?2rcos? （6）
cn0/n式中cn0/n是光在小球内的传播速率。
按照牛顿第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小为
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f??pn0h?sin? （7） ??tnrcos?按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小F?f，即 F?n0h?sin? （8）
nrcos?力的方向由点O指向点G．由（1）、（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，最后可得
nlh? F?02nr?r2?l2?1?22(nr/n)?l?0??? （9） ??评分标准：本题20分
（1）式1分，（5）式8分，（6）式4分，（8）式3分，得到（9）式再给4分。
三、参考解答
1．相距为r的电量为Q1与Q2的两点电荷之间的库仑力FQ与电势能UQ公式为 FQ＝kQQ1Q2Q1Q2 （1） U??kQQrr24aS 3r4aS （2） 3r2现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为 U(r)??k根据直接类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为 F(r)??k设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为v，因二者相距r0，二者所受的向心力均为F(r0)，二者的运动方程均为
4aSmtv2 （3） ?k2r0/23r0由题给的量子化条件，粒子处于基态时，取量子数n?1，得
?r?h 2mtv?0?? （4）
22???由（3）、（4）两式解得
3h2 r0?2 （5）
8?mtaSk代入数值得
r0?1.4?10－17m （6）
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