——几何变换性质、问题与解法
别董大（其一） 唐代 高适
千里黄云白日曛，
北风吹雁雪纷纷。 莫愁前路无知己， 天下谁人不识君?
别董大（其二）
六翮飘飖私自怜，
一离京洛十余年。 丈夫贫贱应未足， 今日相逢无酒钱。 《数学课程标准》在知识技能要求中指出：“探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称”，在第三学段（7~9年级）目标单列“（二）图形的变化”，包括：“1．图形的轴对称， 2．图形的旋转，3．图形的平移，4．图形的相似，我们把这4种几何变换称为基本几何变换。其实几何变换远不止这些，如：等积变换，伸缩变换，保长变换等，它们在中考题中都有精彩呈现。 一、平移变换
平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
平移的性质：
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等． （3）多次连续平移相当于一次平移．
（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形． （5）平移是由方向和距离决定的．
（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等．
平移的画法：
（1）找准平移方向；
（2）选择图形中的一个关键点，作平移方向的平行线，量出平移距离，得出对应点； （3）仿（2）作出所有关键点的对应点，顺次连接 这些对应点就得到平移后的图形.
如图1，将△ABC沿AA'方向平移到△A'B'C'， 平移的距离是AA'。
图1 例1．1（2014·舟山）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得 到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为
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（ ）． A． 16cm B．18cm C．20cm D． 22cm
解：根据题意，将周长为16cm的△ABC沿BC向右平移2cm得到△DEF， ∴AD=2cm，BF=BC+CF=BC+2cm，DF=AC； 又∵AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=20cm．故选C．
例1．2（2014·江西）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°， 将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形
△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为 ． 解：∵△ABC平移两个单位得到△A′B′C′，AB＝4，BC＝6，∴B B′=2′，AB＝A′B′． ∵AB＝4，BC＝6，∴A′B′＝AB＝4， B′C=BC-BB′＝6-2=4． abc ∴A′B′＝B′C=4，即△A′B′C是等腰三角形． 又∵∠B=60°，∴∠A′B′C=60°，△A′B′C是等边三角形． 故△A′B′C的周长为：4×3＝12．
类题（2012·江西）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，
相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线( ) ． abc电电电A．a户最长 B．b户最长 表表表C．c户最长 D．三户一样长
例1．3（2014·济南）如图，将边长为12的正方形ABCD是沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的
AD 距离AA'等于________. A D A
C BC B C’
解：设AA'=m，则m2+（12-m）2=122-64，解之m=4或8，应填4或8．
类题（2012·江西）如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A（-2，0）、 B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求C点坐标和反比例函数的解析式；
（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，
使点B恰好落在双曲线上，求m的值．
类题（2012·江西B）如图，Rt△ABC放置在平面直角坐标系中，已知：A（-2，0）、
B（0，4），∠ABC=90°．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）直线AB向下平移m个单位，恰好经过点C，求m的值．
例1．4(2010·台州)类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个
单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（?2）=1．
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若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平 移a个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移b个单位），则把 有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法 运算法则为{a，b}?{c，d}?{a?c，b?d}．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”
{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC. ②证明四边形OABC是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
y
Q（5, 5） y P（2, 3） 1
x O 1
x O 图2 图1 例26图
y 解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}． {1，2}+{3，1}={4，3}． （2）①画图 B C 最后的位置仍是B．
1 A ② 证明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2） x O 1 ∴OC=AB=12?22=5，OA=BC=32?12=10， ∴四边形OABC是平行四边形．
（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．
例1．5（2013?钦州）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）．
A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙 解：图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度； 延长ED和BF交于C，如图2， ∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，
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同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形， ∴EF=CD，DE=CF，
即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；
延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK， 即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长； 即甲=乙=丙，故选D．
类题（2014?湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图
中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程 最长的行进路线图是（ ）．
A． B． C． D． 解：A选项：延长AC、BE交于S，∵∠CAE=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE． 同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS， 即乙走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS； B选项：延长AF、BH交于S1，作FK∥GH， ∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB， ∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=67°=∠GHB，∴FG∥KH，
∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH， ∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，
同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB，又∵AS+BS＜AS2+BS2，故选D．
例1．6（2014·台州）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．定义∶六个内角相等的六边形叫等角六边形．
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（1）研究性质
①如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF 分别有什么位置关系？证明你的结论． ②如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有AB＝DE，则其余两组正对边BC与EF， CD与AF相等吗？证明你的结论． ③如图3，等角六边形ABCDEF中．如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O， 那么三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你 的结论． （2）探索判定
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°才能保证该六变形—定 是等角六边形？
E a2 D E a2 D E a2 D E a2 D c2 c2 c2 c2 b1 F F F F
C C C b2 C b2 b2 b2 c1
A
a1 B A a1 B A a1 B Aa1 B
解：（1）①结论：AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF．证明如下： 连接AD，如图1，
∵六边形ABCDEF是等角六边形，
?6?2??180?∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B?6?120?．
∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，∴∠DAF+∠EDA=360°﹣120°﹣120°=120°． ∵∠DAF+∠DAB=120°，∴∠DAB=∠EDA．∴AB∥DE． 同理BC∥EF，CD∥AF．
②结论：EF=BC，AF=DC．证明如下： 连接AE、DB，如图2，
∵AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形． ∴AE=DB，∠EAB=∠BDE．
∵∠BAF=∠EDC．∴∠FAE=∠CDB． 在△AFE和△DCB中，
．
∴△AFE≌△DCB． ∴EF=BC，AF=DC．
③结论：AB=DE，AF=DC，EF=BC． ∵AB∥ED，∴△AOB～△DOE．∴ 同理：
OAOB?． ODOEOBOCOCOD??，． OEOFOFOA几何变换性质、问题与解法
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