（2）△ABE为等边三角形
证明连接AD、CD、ED
∵线段BC绕点B逆时针旋转60?得到线段BD 则BC?BD，?DBC?60?
1又∵?ABE?60?，∴?ABD?60???DBE??EBC?30???
2A且△BCD为等边三角形. 在△ABD与△ACO中
?AB?AC??AD?AD ?BD?CD?DEBC11∴△ABD≌△ACD（SSS）∴?BAD??CAD??BAC??
2211∵?BCE?150?∴?BEC?180??(30???)?150???
22在△ABD与△EBC中
??BEC??BAD???EBC??ABD ?BC?BD?∴△ABD≌△EBC（AAS） ∴AB?BE，∴△ABE为等边三角形
（3）∵?BCD?60?，?BCE?150?，∴?DCE?150??60??90?
又∵?DEC?45?，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DC?CE?BC ∵?BCE?150?，∴?EBC?(180??150?)?15?
21而?EBC?30????15?，∴??30?
2
例3．12（2014·抚顺）已知：Rt?A'BC'≌Rt?ABC,?A'C'B??ACB?90?， ?A'BC'??ABC?60?,Rt?A'BC'可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC'和AA'相交于点D．
（1）如图1所示，当点C'在AB边上时，判断线段AD和线段A'D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt?A'BC'由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
t?A'BC'由图1的位置按顺时针方向旋转?角?0????120??，（3）将R当A、C'、
A'三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
几何变换性质、问题与解法
26
AA' D A'C'C'
CBCB 图1 图2 类题（2014·本溪）如图，在?ABC和?ADE中，AB?AC，AD?AE，
?BAC??EAD?180?，?ABC不动，?ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
（1）如图①，当?BAE?90?时，求证：CD?2AF； （2）当?BAE?90?时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
EED D AFFA
C CBB 图① 第25题图 图②
DA例3．13（2010·台州）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，
∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段．．AC于点M，K． （1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”
或“=”)．
②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论． （3）如果MK2?CK2?AM2，请直接写出∠CDF的度数和MK的值．
AME E
EFCKMAD图1
MLADC(F,K)B图2
BFKA(M)D图3
CEFKCB（第23题）
MAD图4
B（1）① =
② ＞ （2）＞
证明：作点C关于FD的对称点G， 连接GK，GM，GD，
则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，
几何变换性质、问题与解法
27
EGFKCMADB∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD． ∵?A?30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°， ∠ADM+∠CDK =60°． ∴∠ADM=∠GDM， ∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM． ∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK． （3）∠CDF=15°，MK?3．
AM2例3．14（2014年南昌）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）。
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G； 第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H； 依此操作下去…
（1）图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为____，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH。
①请判断四边形EFGH的形状为______，此时AE与BF的数量关系是______。
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数 关系式及面积y的取值范围。
（3）若经过多次操作可得到所谓相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形 吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由。 解：（1）等边三角形。 ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°. ∵ED=FD，∴△ADE≌△CDF.(HL) ∴AE＝CF，BE＝BF.
∴△BEF是等腰直角三角形。 设BE的长为x，则EF=2x，AE=4 x.
222∵在Ｒt△AED中，AE?AD?DE，DE=EF，
∴(4? x)?4?(2x)
解得x1??4?43，x2??4?43(不合题意，舍去).
222几何变换性质、问题与解法
28
∴EF＝2x＝2（－4?43）＝－4＋46 （2）①四边形EFGH为正方形；AE＝BF.
②∵AE＝x，∴BE=4-x.
222∵在Ｒt△BED中，EF?BF?BE，AE=BF，
∴y?EF?(4?x)?x?16?8x?x?x?2x?8x?16
∵点E不与点A、B重合，点F不与点B、C重合，∴0＜x＜4. ∵y?2x?8x?16?2(x?4x?4)?8?2(x?2)?8，
∴当x=2时有最小值8，当x=0或4时，有最大值16， ∴y的取值范围是8＜y＜16.
（3）最大边数是8.因为正方形的每条边最多有多边形的2个顶点，所以多边形最多是8边形。它是正八边形，边长是：42?4。
例3.15（2013·济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点， 且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
222222222 解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF， ∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AF=BE；
（2）解：MP与NQ相等．理由如下：
如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E， 则与（1）的情况完全相同．
几何变换性质、问题与解法
29
类题（2014?丽水、衢州）提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O， 求证：AE=DH； 类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若 EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； 综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴 影部分的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH． ∴∠HAO+∠OAD=90°． ∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90°．∴∠HAO=∠ADO． ∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE=DH． （2）EF=GH．
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF． 将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH． ∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠AHO=∠CGO ∵FH∥EG，∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE，∴△AHF∽△CGE ∴ ∵EC=2，∴AF=1
过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF=
，
∵FH∥EG，∴
根据（2）①知EF=GH，∴FO=HO．
几何变换性质、问题与解法
30