四、位似变换
两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
位似的性质
（1）位似图形对应线段的比等于相似比。 （2）位似图形的对应角都相等。
（3）位似图形对应点连线的交点是位似中心。 （4）位似图形面积的比等于相似比的平方。 （5）位似图形高、周长的比都等于相似比。
（6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上。 （7）利用位似可以将一个图形任意放大或缩小。 位似的作图：
①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同y 一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个。 E D 例4．1（2014·荆门）如图，正方形OABC与正方形ODEF A B 是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标
O C F x 为(0，1)，则点E的坐标是 ．
解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：
∴OA∶OD=1∶， ∵点A的坐标为（1，0），即OA=1， ∴OD=，
∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=．∴E点的坐标为：（，）． 故答案为：（，）．
例4．2（2014·武汉）如图，线段AB两个端点的坐标分别为 A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）．
A．(3，3) C．(3，1)
B．(4，3) D．(4，1)
，
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的坐标为：（3，3）． 故选：A．
类题 （2013?青岛）如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'， A'、B'均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m,n）， 则点P在A'、B'上的对应点P'的坐标为（ ）．
m,n) B．(m,n) 2nmn C．(m,) D．(,)
222 A．(几何变换性质、问题与解法
36
A'B'1?， AB2mn所以点P（m，n）经过缩小变换后点P'的坐标为(,)
22解：因为AB＝25，A'B'?5，所以，答案：D．
类题 （2013?泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A， B的 坐标分别为（3， 0），(2，-3)，则△AB' O' 是△ABO关于点A的且 位似图形，O'的坐标为(-1, 0)，则点B' 的坐标为___________. 【答案】：(,?4)．
例4．3（2013?孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的 对应点E′的坐标是（ ）．
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 解：根据题意得：
则点E的对应点E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选D．
例4．4（2014·孝感）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方 式放置．点A1，A2，A3，?和点C1，C2，C3，?分别在直线y?x?1和x轴上，则点B6 的坐标是 ．
解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，
∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
0
∴A1的纵坐标是：1=2，A1的横坐标是：0=20﹣1，
11
∴A2的纵坐标是：1+1=2，A2的横坐标是：1=2﹣1，
22
∴A3的纵坐标是：2+2=4=2，A3的横坐标是：1+2=3=2﹣1，
33
∴A4的纵坐标是：4+4=8=2，A4的横坐标是：1+2+4=7=2﹣1， 即点A4的坐标为（7，8）．
n﹣1n﹣1
据此可以得到An的纵坐标是：2，横坐标是：2﹣1．
n﹣1n﹣1
即点An的坐标为（2﹣1，2）．
55
∴点A6的坐标为（2﹣1，2）．
65
∴点B6的坐标是：（2﹣1，2）即（63，32）． 故答案为：（63，32）．
类题 (2014·牡丹江)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是 ．
几何变换性质、问题与解法
37
53
解：如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∵△B1OC1≌△C1E1D1，∴B2E2=D1E1=OC1=1，
作A1E⊥x轴，则A1到x轴的距离是A1E=1+2=3， ∴点A2014到x轴的距离是：
2?3?20131322013，
类题 （2014?龙岩）如图，∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2，
若O1，O2，O3…分别以为圆心作圆，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3…均与∠AOB的两边相切，且相邻两圆相外切，则⊙O2014的面积是 （结果保留π）．
解：设⊙O1，⊙O2，⊙O3…与OB的切点分别为C，D，E，连接CO1，DO2，EO3，
∴CO1⊥BO，DO2⊥BO，EO3⊥BO， ∵∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2， ∴∠O1OC=30°，∴CO1=1，
∴DO2=（2+1+DO2），∴DO2=3，
同理可得出：EO3=9，
2013
∴⊙O2014的半径为：3，
201324026
∴⊙O2014的面积是π×（3）=3π．
4026
故答案为：3π．
几何变换性质、问题与解法
38
类题（2014·盐城）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为 ．（用含n的代数式表示，n为正整数）
解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形， ∵A（8，4），∴第四个正方形的边长为8， 第三个正方形的边长为4， 第二个正方形的边长为2， 第一个正方形的边长为1， ?，
第n个正方形的边长为2
n﹣1
，
[来源学科网]
由图可知，S1=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=， S2=×4×4+×（2+4）×4﹣×（2+4）×4=8， ?，
Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，
2n﹣12n﹣2
第2n个正方形的边长为2，第2n﹣1个正方形的边长为2， Sn=?2
2n﹣2
?2
2n﹣2
=2
4n﹣5
．
故答案为：2．
类题（2014?淮安）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，?， 按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为 ．
解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的
；
4n﹣5
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的
；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半
，则周长是原来的；…
几何变换性质、问题与解法
39
故第n个正方形周长是原来的，
以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的
，
∵正方形ABCD的边长为1，∴周长为4，∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为， 故答案为：．
例4．5（2014?济宁）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）连接CF，请直接写出BE∶CF的值（不必写出计算过程）． 解：（1）证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°， ∴BE=AB﹣AE，DG=AD﹣AG，∴BE=DG，
在△BEF和△DGF中，
∴△BEF≌△DGF（SAS），∴BF=DF；
（2）解：∵BF=DF，∴点F在对角线AC上 ∵AD∥EF∥BC，∴BE∶CF= AE∶AF =12=． 22 例4.6（2013?宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
解：如图：（1）△A1B1C1 即为所求； （2）△A2B2C2 即为所求．
类题（2013?南宁）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1）， C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
几何变换性质、问题与解法
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