∴
OAOBOCOD???．∴OA=OD，OB=OE，OC=OF． ODOEOFOA ∴AB=ED，AF=DC，EF=BC． （2）连接BF，如图4，
∵BC∥EF，∴∠CBF+∠EFB=180°． ∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°，∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°． 同理：∠A+∠ABC+∠C=360°．∴∠AFE=∠C． 同理：∠A=∠D，∠ABC=∠E． Ⅰ．若只有1个内角等于120°，不能保证该六边形一定是等角六边形． 反例：当∠A=120°，∠ABC=150°时，∠D=∠A∠=120°，∠E=∠ABC=150°． ∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE=∠C=（720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）=90°． 此时该六边形不是等角六边形． Ⅱ．若有2个内角等于120°，也不能保证该六边形一定是等角六边形． 反例：当∠A=∠D=120°，∠ABC=150°时，∠E=∠ABC=150°． ∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE=∠C=（720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）=90°． 此时该六边形不是等角六边形． Ⅲ．若有3个内角等于120°，能保证该六边形一定是等角六边形． 设∠A=∠D=α，∠ABC=∠E=β，∠AFE=∠C=γ．则2α+2β+2γ=720°．∴α+β+γ=360°． ∵有3个内角等于120°，∴α、β、γ中至少有两个为120°． 若α、β、γ都等于120°，则六个内角都等于120°； 若α、β、γ中有两个为120°，根据α+β+γ=360°可得第三个也等于120°，则六个内角都等于120°．
综上所述：至少有3个内角等于120°，能保证该六边形一定是等角六边形． 问题 如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：x?4，直线l2：x?8，已知：点P（4，0），边长为10的正方形ABCD中的顶点A在l2上滑动，点B在y轴上滑动． （1）写出关于C，D两点坐标的两条结论；
（2）如图2，当正方形ABCD的一边AB经过P点时，求A点的坐标；
（3）如图3，当正方形ABCD的顶点B与O点重合时，求l2与CD的交点Q的坐标； （4）当?APB?90°时，求A点的坐标．
解：（1）①C点的横坐标是6；
②D点的横坐标是14；
几何变换性质、问题与解法
6
③C，D两点纵坐标的差是6；
④D点纵坐标比C点纵坐标大?等等（每条1分，共2分）
（2）在直角三角形OPB中，OB?5?4?3，∴B（-3，0），A（8，3） （3）如图，∵△OAE∽△AQD，∴
22OEADAE?? AOAQQD∴
810AE??,解得：OQ?12.5,AE?4，∴Q（8，-6.5） 10AQ5（4）如图，当?APB?90°时，PF?1AB?5, 2 EA?5?3?2（解释：将AF垂直平移至点E，利用第（2）的结论）∴A(8，-2)
同理可求另一个解A(8，8)
几何变换性质、问题与解法
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二、轴对称变换
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 轴对称变换的性质：
（1）对称点到对称轴的距离相等。 （2）成轴对称的两个图形全等；
（3）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；
（4）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线。 做对称轴变换的方法： （1）确定对称轴。
（2）在原图形上找点，作出原图形的点与对称轴的距离。 （3）量出此距离，并以原图形的点为端点，延长距离成倍长。 （4）连接对称点。
例2．1（2014抚州）如图，△ABC与△DEF关于直线对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线.
解：利用轴对称性质：对应线段（或延 长线）的交于对称轴上一点.
如图 ，直线l 就是所求作的对称轴. A类题（2012·江西省）如图，已知正五边形ABCDE，请仅用一把
无刻度的直尺，准确作出：它的一条对称轴（保留作图痕迹）． ．．．
答案如下：
CDBE或
类题（2012·江西B卷）如图，已知弦AB∥CD，请仅用一把无刻度的直尺，准确作出：．．．
该圆的直径（保留作图痕迹）．
例2．2（2012·江西）已知两个菱形ABCD、CEFG如图所示放置，其中点A、C、F 在同一直线上，连接BE、DG．
（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形； （2）证明：BE=DG． 解：（1）△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC， △GDC≌△EBC任意两对均可；
几何变换性质、问题与解法
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（2）证明：
方法一：连接DB、GE，
∵四边形ABCD、CEFG是菱形，
∴对角线DB、GE被直线AF垂直、平分，
∴点D与点B，点G与点E都是以直线AF为对称轴的 两对对称点，∴BE=DG．
方法二: ∵四边形ABCD、CEFG是菱形，
∴DC=BC，CG=CE，∠DCA =∠BCA，∠GCF =∠ECF； ∵∠DCG =180°-∠DCA-∠GCF，∠BCE=180°-∠BCA-∠ECF ∴∠DCG =∠BCE，∴△GDC≌△EBC，∴BE=DG．
例2．3（2014·安徽）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）． A．
55 B． C．4 D．5 32 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，∴BD=3，
在Rt△ABC中，x2+32=（9-x）2，解得x=4． 故线段BN的长为4，选C．
类题 (2014·牡丹江) 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点 A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（ ） A． 30° B． 40° C．50° D．60° 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线， ∴AM=MC=BM，∴∠A=∠MCA，
∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处， ∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，∴∠ACM=∠MCD， ∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°∴∠A=∠BCD ∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°∴∠A=30°．故选：A．
例2．4 (2014·随州)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心； ②当x=时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是
；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变． 其中正确的是 ①④ （写出所有正确判断的序号）． 解：（1）据题意可知：△BEF和△DGH是等腰直角三角形，
∴当AE=1时，重合点P是BD的中点，∴点P是正方形ABCD的中心； 故①结论正确，
（2）显然△BEF∽△BAC，
几何变换性质、问题与解法
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3BEEF3EF113?，∴BE=2??，∴，即/2?，∴EF=AC，
4BAAC2AC2221 同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②结论错误，
4 ∵x=
（3）S六边形AEFCHG=S正方形ABCD﹣S△EBF﹣S△GDH．
11BE?BF﹣GD?HD 2211 =4﹣×（2﹣x）?（2﹣x）﹣x?x=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，
22 ∵AE=x，∴S六边形AEFCHG=22﹣
∴S六边形AEFCHG的最大值是3，故③结论错误，
（4）当0＜x＜2时， ∵EF+GH=AC，
∴六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG
=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2
=4+2
六边形AEFCHG周长的值不变，故④结论正确． 故答案为：①④．
类题（2014·嘉兴）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D， 并交EC的延长线于点F．下列结论：
①CE=CF；
②线段EF的最小值为23； ③当AD=2时，EF与半圆相切； ④若点F恰好落在
上，则AD=25；
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是163． 其中正确结论的序号是 ①③⑤ ．
解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，∴CE=CD．∴∠E=∠CDE． ∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°． ∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．∴∠F=∠CDF．∴CD=CF． ∴CE=CD=CF．∴结论“CE=CF”正确． ②当CD⊥AB时，如图2所示． ∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°． ∵AB=8，∠CBA=30°，∴∠CAB=60°，AC=4，BC=43． ∵CD⊥AB，∠CBA=30°，∴CD=
1BC=23． 2根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为23． ∵CE=CD=CF，∴EF=2CD．
几何变换性质、问题与解法
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