∴．
，
由余弦定理得又∴∴又∴∴
，
． 或，
， （舍去），
，
（2）由（1）得为锐角，故又∴ 设∵ ∴ ∴
， ，
在
上单调递减，
，
， ，
．
∴ ，
.
∴ 实数的取值范围为
18.某营养协会对全市18岁男生的身高作调查，统计显示全市18岁男生的身高服从正态分布部介于
，现某校随机抽取了100名18岁男生的身高分析，结果这100名学生的身高全到
之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组
，得到如图所示的频率分布直方图.
，第二组
，…，第六组
（1）若全市18岁男生共有人，试估计该市身高在以上的18岁男生人数；
（2）求的值，并计算该校18岁男生的身高的中位数（精确到小数点后三位）； （3）若身高
以上的学生校服需要单独定制，现从这100名学生中身高在
以上的
同学中任意抽取3人，这三人中校服需要单独定制的人数记为，求的分布列和期望. 附：
，则，则，则
； .
；（2）
,
；
【答案】（1）【解析】 试题分析：
；（3）分布列见解析，.
（1）根据正态分布得到在得高在
，故，从而可得身高
以上的18岁男生人数．（2）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可求，然后根据中位数的意义可求得中位数的估计值．（3）由频率分布直方图可得身内的为人，身高在
内的为人．从而可得随机变量的所有可能取值，
并根据古典概型求得对应的概率，于是可得分布列，从而可得期望． 试题解析： (1)由题意得∴
∴可估计该市身高在(2)由频率分布直方图可得∴
.
，
以上的18岁男生人数为,
,
（人） ，
设中位数为，则
∴即中位数为
.
．
内的人数为
人，
人，
（3）由题意得身高在身高在
内的人数为
由题意得随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
故的分布列如下： ∴点睛：
.
0 1 ，
2 3 （1）利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法
①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．
②平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和． ③众数：最高的矩形的中点的横坐标．
（2）对于正态分布，一定要注意三个特殊区间上的概率．解题时关键要会利用正态曲线的对称性求解随机变量在一些特殊区间上取值的概率． 19.如图，在正四棱锥
中，底边
，侧棱
，为侧棱
上的点.
（1）若（2）若
平面，求二面角的余弦值的大小；
平面
，若存在，求
的值；
，侧棱上是否存在一点，使得
若不存在，试说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，【解析】 试题分析：
（1）根据题意可建立空间直角坐标系，然后根据两平面法向量夹角的余弦值求得二面角的余弦值．（2）先假设存在满足题意的点使得向量，由试题解析： （1）如图，连接两两垂直． 以为坐标原点，
分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.
，设
交
于，由题意知
平面
，又
，故
，可得
，从而可得当
平面
，然后根据题意求得平面时，
平面
.
的法
.
∵，，∴
，
.
，，
，
（1）由题意得∴∵
平面
，，
∴平面又平面∴
的一个法向量的一个法向量
， ， ，
为锐角，
由图形知二面角
∴所求二面角的余弦值为. （2）假设在棱设平面由题意得又点
，
，
上存在一点使得
， ，
，
，
平面
．在
上取点，连接
，
的法向量为
由，得，
令设则由解得∴当
，则
，
，
，
平面，
时，
平面
.
，可得
，
点睛：
（1）利用法向量求二面角或其余弦值时，在求得两法向量的夹角的余弦值后，还要根据图形判断二面角是锐角还是钝角，最后才能得到结论．
（2）立体几何中的探索性问题可通过坐标法来解，求解时要注意将所求的位置关系的问题转化为向量的共线或数量积的运算来处理． 20.设椭圆方程为
，离心率为，
是椭圆的两个焦点，为椭圆上一
点且，的面积为.