（1）求椭圆的方程； （2）已知点
，直线不经过点且与椭圆交于
两点，若直线
与直线
的斜率之和
为1，证明直线过定点，并求出该定点. 【答案】（1）【解析】 试题分析： （1）由离心率可得
，根据
的面积为得到
，进而得到
，
，然后在焦点三角形，于是得到椭圆的方
；（2）证明见解析，
.
中利用余弦定理并结合定义可得
程．（2）由题意设直线方程为系数的关系及可得过定点试题解析： (1)由题意得∵又在
，
中，由余弦定理得
，故
． ，∴，
.
可得
，联立椭圆方程后得到二次方程，由根与
，故直线方程为
，即
，
，
，
∴解得∴∴
， ． ，
.
，
，
,
∴椭圆的方程为
（2）由题意设直线方程为由
消去y整理得
∵直线与椭圆交于两点，
∴设点则
，
，
，
．
由题意得即∴
， ，
整理得∴直线方程为∴直线过定点
，
，即.
，
点睛：定点问题的解题策略 （1）直线过定点．将直线方程化为
恒成立，故直线过定点
（2）曲线过定点．利用方程为坐标的点即为所求的定点． 21.已知函数（1）若（2）设
小值，求最小值的取值范围. 【答案】（1）【解析】 试题分析： （1）根据为求
求．（2）由题意可得
不单调可得导函数在区间
在
上有解，然后通过分离参数的方法将问题转化
；（2）
.
时，
（
）.
．
对任意参数恒成立得出关于
的方程组，以方程组的
的形式，当
时与无关，即
不单调，求的取值范围；
，若
，
时，
时，
有最
上的取值范围的问题解决，然后利用基本不等式可得所
，利用导数可得
在
上单调递增，又
，故可得在上存在零点，从而可得
的值域即
．然后再利用导数求出函数
可得到所求． 试题解析： （1）∵∴ ∵∴方程∴又∴
．
．
，
. ，则
，， 单调递增，
，
，使得时，时，
，，
单调递减， 单调递增，
.
设则
，
，
，
.
，
，
时，
不单调，
在在
，（当且仅当
上有解， 上有解，
时等号才成立，故此处无等号）
，
,
∴ 实数的取值范围为（2）由题意得∴设又∵∴又∴存在且当当∴
∴ 又∴ 故
在上单调递减，
， .
最小值的取值范围为．
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标坐标系
中，曲线的参数方程为
（为参数），以坐标原点
.
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程（1）当
时，交于
两点，求
；
的最大值.
（2）已知点【答案】（1）【解析】
，点为曲线上任意一点，求；（2）
.
试题分析：（1）第（1）问，先把直线的参数方程化为普通方程，再解圆里的三角形得到弦长得到|AB|的值.（2）先写出试题解析： （1）消去得：由
得：
，
，圆心为
，
. ，
，
∴
的最大值为
.
， ，半径
，
的三角函数表达式，再利用三角函数求它的最大值.
圆心到直线的距离
，∴
（2）设点
，则，又
选修4-5：不等式选讲 23.设（1）若
，解关于的不等式
.
；
（2）求证：【答案】(1) 【解析】
或
.
；（2）证明见解析.
试题分析：（1）第（1）问，直接利用零点讨论法解三角绝对值不等式证明. 试题解析： （1）当①当②当③当
时，时，时，时，
或
.
，∴
, ；
（2）第（2）问，利用
，∴无解； ，∴
，
综上所述，（2）证明：
，
当且仅当
时取等号.