广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用
第二章 几种矩阵的判定和应用
2.1逆矩阵
2.1.1n阶矩阵可逆的定义
设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得
AB?BA?E(E为n阶单位矩阵)，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵。当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A?1。
2.1.2逆矩阵的性质
设A,B是n阶可逆矩阵，则 （1）?A?1??A；
?1（2）若k?0，则kA可逆，且?kA???11?1A； k（3）AB可逆，且?AB??B?1A?1；
?1（4）AT可逆，且?AT???A?1?；
?1T（5）Ak可逆，且?Ak???A?1?；
?1k（6）A?1?A；
（7）如果A是m?n矩阵，G是m阶可逆矩阵，H是n阶可逆矩阵，则
r?A??r?GA??r?AH??r?GAH?。
?12.1.3矩阵可逆的条件
（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A?0； （2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r?A??n；
（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；
（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积； （5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB?E（或BA?E），则A可逆，且A?1?B；
（6）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零。
2.1.4求逆矩阵的方法
法1：伴随矩阵法：A?1?1?A。 A2阶方阵求逆矩阵：2阶方阵的伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律。
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第二章 几种矩阵的判定和应用 ?a11设2阶方阵A???a?21a12??，矩阵A的代数余子式A11??a22?，A12???a12?，a22???a22?a12??A21???a21?，A22??a11?。所以，其伴随矩阵A?????a?。 a11??211?a22?a12??所以，A?1?? ??A??a21a11??AB?注：对分块矩阵??CD??不能按上述规律求伴随矩阵。
??
法2：初等变换法：
矩阵的阶大于或等于3的一般采用初等变换法 （1）?A?E?初等行变换E?A??1?
?A??E?????初等列变换（2）???1? ??E??A?（3）当矩阵A可逆时，可利用
?A?B?初等行变换?E?A?1B?,???A??E????初等列变换?1? ???C??CA?优点：不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即可求出
A?1B或CA?1。
法3：分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式：
?A1?? ??????????A?sA2??????As??A2?A1????????1?1?A1?1????1A2?????， ????1??As???As?1????1As?1?????，
????A?1??1?其中Ai?i?1,2,?,s?均为可逆矩阵。
2.1.5求逆矩阵的例子
例1 （清华大学）设A为主对角线元素为零的4阶实对称可逆矩阵，E为4阶单位阵。
?0??0B??0??0?000??000?0k0??00l???k?0，l?0?。
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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 （1）试计算E?AB，并指出A中元素满足什么条件时，E?AB为可逆矩阵。 （2）当E?AB可逆时，试证明?E?AB?A为对称矩阵。
?1解：
?0??a（1）设A??12a?13?a?14?1a120a23a24a13a230a34a14??1??a24??0，则E?AB??0a34?????00??0ka131ka23010ka34la14??la24?。 ?la34?l??22?0时，E?AB为可逆矩阵。 故E?AB?1?kla34。即当1?kla34（2）?E?AB?A?A?1?E?AB?由于AT?A，BT?B，所以
???1??A?1?B?。
?1?1T?????A?B?????A?即是?A?B?对称矩阵，故?E?AB??1??A?B?1T?1T?1?BT????A??1T?1?B??1?A?1?B???1，
?1?1?1A是对称矩阵。
解题技巧：
做本题（1）时，可运用可逆矩阵的充要条件：A可逆?A?0。 做本题（2）时，首先要考虑到对称矩阵的定义：若A是对称矩阵，则AT?A。像?E?AB?A是两矩阵的乘积，应将其化为一个矩阵，再利用对称矩阵的定义
?1来解决。
?4???1?A?例2 已知?0??0?
0??000?，试求A?1和A。 ?03?6?0?33???430解：对AA??AE两边取行列式得AA?A，于是
4300?1000433?63?A?A????27，
003?6?10?3300?33?1??100????3?11000?。 即A??3，故A?1?A????3?A?00?12???001?1??
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第二章 几种矩阵的判定和应用 ?A1又因为A???O??A1?1O??43??3?，其中A1????10??，A2????3A2?????1?1?0?1?1??1??A1??A?A2?，2?14A13?A??21?0?O???1?4????1?00A2???00??6??，可求得 3???1?36????， 339???故由AA??AE得
A?AA????1?A1?1?A??O?00??00?。 12??11??
解题技巧：
当我们看到A的伴随矩阵A?，首先应该考虑采用伴随矩阵法来求A?1，因为
?11?A?1?A，所以求A?1的关键是求A。又由AA??AE知A?A?A??，可见求
A得A和?A??后即可得到A。
?1对于求解A，也可利用A?1来求，根据A?1的特点，可先将A?1化为分块矩阵
?A1O??1?的形式，如A?1??，A?A?OA?2??等变换法来求A1，A2的逆矩阵即可。
???1?A1???O?O??A2???1?A1?1???O?O??，再通过初?1?A2?例3（武汉大学）设矩阵A???T，其中?是n维列向量，?T是?的转臵，又已知?T??1。 （1）证明: A2?A
（2）证明: B?E?A?A2???An是可逆矩阵，并求B?1这里E是n阶单位矩阵。
证:（1）显然有
A2?????T????T????T?????T?1???T?A
????（2）显然可求得A为对称矩阵且A的全部特征值为0(n?1重〕，1(1重)。那么不妨设可逆矩阵P使得
A?Pdiag?1，0，?，0?P?1。
于是有
B?E?A?A2???An?Pdiag?n?1，1，?，1?P?1。
显然B为可逆矩阵，且有
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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 ?1?B?1?Pdiag?，1，?，1?P?1?n?1?n?E?Pdiag?1，0，?，0?P?1
n?1n?E?An?1例4 (华中科技大学)设A为n阶方阵，若存在唯一的n阶方阵B，使得
ABA?A，证明：BAB?B。 分析:注意反证法的应用。
证明:首先证明A可逆，利用反证法。
若A不可逆，那么A的秩小于n，不妨设r?A??r?n，于是有可逆矩阵P,Q，
OO??ErO??1???C?QQ使得A?P?，取?OO??OE??，显然有
n?r?????ErACA?P??O?OO??1???QQ?O???OO??OO??A?P??OO??A?O， En?r????若存在B使得ABA?A，那么对于矩阵B?C，也有
A?B?C?A?ABA?ACA?A?O?A，
这与B的唯一性相矛盾。
于是A必可逆，那么对ABA?A左乘A?1，右乘B即可得BAB?B。
2.2伴随矩阵
2.2.1伴随矩阵的定义
若A??aij?n?n，那么它的伴随矩阵A???Aij?n?n (其中Aij表示矩阵中元素aij的代数余子式)。
i?j注：Aij???1?Mij，(其中Mij表示矩阵中元素aij的余子式)。
2.2.2伴随矩阵的性质
（1）AA??A?A?AE；
（2）若A可逆，则A??AA?1，A?1?（3）?AB??B?A?（例2）；
?1?A； A（4）注意到A?中的每个元素都是矩阵A的n?1阶子式乘以某个值为1或?1的常数，于是对于常数a，有?aA??an?1A?。
?2.2.3有关伴随矩阵的例子
例1 (天津大学)设矩阵A的伴随矩阵
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